Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

logarithm

Posté par mimi91 (invité) 03-05-05 à 09:58

Enoncé: On répondera sur la copie a Vrai ou Faux aux affirmations suivantes

1. L'équation (ln x)^2 + ln x = 4 n'admet pas de solution dans l'intervalle ]0;+[

2. ln(2^2) + ln 2 - ln 16= (-3/2)ln2

3. L'inéquation 1-lnx 0 admet pour ensemble de solution l'intervalle [e;+[

Moi j'ai trouver Faux, Faux, Vrai est ce que c'est bon?
Par contre il nous demande de tout justifier pouver vous m'aider pour la justification.

Posté par
H_aldnoerre : logarithm 03-05-05 à 10:37

slt


3$\textrm \blue 1)

3$\begin{tabular}(\ln(x))^2+(\ln(x))=4\\\leftrightarrow\textrm(X)^2+(X)-4=0 (E), en posant X=ln(x)\end{tabular}

3$\textrm \fbox{\green Resolution de (E)}
3$(X)^2+(X)-4=0 (E)

3$\textrm \fbox{\green Calcul du discriminant :
3$\begin{tabular}\Delta&=&b^2-4\times a\times c\\&=&1^2-4\times1\times(-4)\\&=&17\end{tabular}


3$\textrm \fbox{\green Discriminant positif il y a donc 2 solutions:
3$\begin{tabular}X_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}=\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2}\\X_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\end{tabular}

3$\textrm \fbox{\green Solution de (E)
3$S=(\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2};\frac{\sqrt{17}-1}{2})

3$\textrm Or nous avions pose X=\ln(x) et nous avons donc :
3$\begin{tabular}\textrm X_1=\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2} soit \ln(x)=\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2}\leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2}}\leftrightarrow x=e^{\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2}}\\\textrm X_2=\frac{\sqrt{17}-1}{2}soit \ln(x)=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\leftrightarrow x=e^{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{tabular}

3$\textrm et comme nous avons e^{\frac{-(\sqrt{17}+1)}{2}},e^{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\in]0;+\infty[ ceux ci sont solution de l'equation initiale

3$\textrm \red La proposition 1 est donc Fausse


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : logarithm 03-05-05 à 10:47

on est repartit

3$\textrm \blue 2)

3$\begin{tabular}\ln(2^2)+\ln(\sqrt{2})-\ln(16)&=&\ln(2)^2+\ln(2^{\frac{1}{2}})-\ln(2^4)\\&=&\ln(2)^2+\ln(2)^{\frac{1}{2}}-\ln(2)^4\\&=&2.\ln(2)+\frac{1}{2}.\ln(2)-4.\ln(2)\\&=&\frac{-3}{2}.\ln(2)\end{tabular}

3$\textrm La proposition 2 est donc vraie


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : logarithm 03-05-05 à 10:58

et enfin

3$\textrm \blue 3)

3$1-\ln(x)\ge0

3$\textrm cette inequation n'a de sens que si x\in]0;+\infty[ a cause du logarithme neperien


3$\begin{tabular}1-\ln(x)\ge0\\\leftrightarrow1\ge\ln(x)\\\leftrightarrow\ln(x)\le1\\\leftrightarrow\textrm e^{\ln(x)}\le e^1 car exponentielle croissante strict\\\leftrightarrow x\le e\\\leftrightarrow x\in]0;e]\end{tabular}

3$\textrm donc 1-\ln(x)\ge0\forall x\in]0;e]

3$\textrm \red La proposition 3 est donc fausse


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : logarithm 03-05-05 à 11:03



et puis j'allais oublié :

* image externe expirée *




@+ sur l';ilemaths: _ald_

Posté par philoux (invité)re : logarithm 03-05-05 à 11:15

>pour la 1) sans vraiment faire de calcul, tu peux aussi dire

ln(x) est continue croissante et positive dès x>1
donc [ln(x)]²+ln(x) le sera aussi et prendra oblidatoire la valeur 4 puisque -> oo qd x->oo

Par cette méthode, tu ne trouves pas la solution comprise entre 0 et 1 que H_al t'a donné, mais tu réponds à la question.

Philoux

Posté par philoux (invité)re : logarithm 03-05-05 à 11:21

Pour la 3, sans tout développer, il suffit de prendre une valeur de l'intervalle qu'ils te donnent :
en prenant x=e² qui appartient à e,+oo tu vois que cette inégalité est fausse

Philoux

Posté par
H_aldnoerre : logarithm 03-05-05 à 11:29

slt philoux !

je pense qu'a partir du moment ou l'on demande si L'équation ... n'admet pas de solution dans l'intervalle ... est que l'on repond FAUX ... on attend de la que l'on donne les solutions de l'equation
de même si l'on pose la question si l'inequation ... admet pour ensemble ... et que l'on repond Faux ...on attend que l'on donne l'ensemble pour laquelle l'inequation est vrai ...

tout ceci a partir du moment ou une justification est demandé ...

ceci etant c mon point de vue ... dans le cas-contraire on aurait explicitement demander un contre-exemple je pense ...

Posté par philoux (invité)re : logarithm 03-05-05 à 11:41

Non

Dans le cas de QCM, répondre Vrai ou Faux peut se suffire d'un contre exemple.

C'est comme cela que dans les concours, on voit ceux qui savent aller le plus loin possible en ne répondant qu'à la question demandée.

Ce que tu as fait est bon, bien sûr, mais tu as répondu à des questions qui n'étaient pas posées.

ceci n'est que mon point de vue...

Philoux


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !