Niveau terminale

logarithme

Posté par
Mathxa 30-01-13 à 18:08

Bonjour à tous, j'ai un très gros soucis avec cet exercice, je n'y comprend rien! Donc s'il vous plait aidez-moi! Merci d'avance.
Soit k un nombre réel fixé, on considère la fonction f_k définie sur [0;+[ par f_k(0)=0 et f_k(x)=x(k−lnx) si x > 0.
Soit C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthonormé.
Dans l'annexe 1, plusieurs courbes f_k sont données pour différentes valeurs de k.

Partie A
1) Déterminer la limite de la fonction f₂ en +.

2) Démontrer que la fonction f₂ est continue en 0.

3) La fonction f₂ est-elle dérivable en 0 ? Que peut-on en déduire pour la courbe C₂?

4) Déterminer f₂'(x) pour x strictement positif et étudier les variations de la fonction f₂.

5) Déterminer le signe de f₂(x) suivant les valeurs de x.

Partie B
1) On appelle S_k le point d'ordonnée maximum sur la courbe C_k . Montrer que, pour tout réel k, le point S_k est situé sur une droite D indépendante de k, que l'on précisera.

2) Soit T_k la tangente à la courbe C_k au point d'abscisse 3.
Montrer que toutes les droites T_k coupent l'axe des ordonnées en un point A indépendant de la valeur de k.
Déterminer pour quelle valeur de k la tangente à la courbe C_k au point S_k passe par A.

logarithme

Posté par re : logarithme 30-01-13 à 18:12

oups la deuxieme image n'a rien a voir avec l'exercice.

Posté par re : logarithme 30-01-13 à 18:21

Bonjour,

Ah! le cned...

A)1) $f_2(x)=x(2-\ln\,x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f_2(x)=-\infty$

2) $\lim\limits_{\stackrel{x>0}{x\to 0}}f_2(x)= \lim\limits_{\stackrel{x>0}{x\to 0}}(2x-x\,\ln\,x)=0$ car $\lim\limits_{\stackrel{x>0}{x\to 0}}x\,\ln\,x=0$

donc $\lim\limits_{\stackrel{x>0}{x\to 0}}f_2(x)=f_2(0)$ et $f_2$ est continue à droite de 0

3) $\lim\limits_{\stackrel{h>0}{h\to 0}}\dfrac{f_2(h)-f_2(0)}{h}=\lim\limits_{\stackrel{h>0}{h\to 0}}(2-\ln\,x)=+\infty$

$f_2$ n' est pas dérivable en 0 mais $C_2$ présente une tangente verticale à l' origine.

C' est un début...

Posté par re : logarithme 01-02-13 à 10:32

4) $f_2$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

$f'(2)(x)=2-\ln\,x-1=1-\ln\,x$ s' annule pour $x=e$

Sur $]0;+e]$ , $f'_2(x)\geq 0$ et $f_2$ est strictement croissante.

Sur $[e;+\infty[$ , $f'_2(x)\leq 0$ et $f_2$ est strictement décroissante.

5) L' équation $f_2(x)=0$ sur $[0;+\infty[$ a deux solutions:

$x=0$ puisque $f_2(0)=0$ et $x=e^2$ puisque $2-\ln\,x=0\Longleftrightarrow x=e^2$

Sur $[0;e]$ , $f_2$ est croissante donc $f_2(x)\geq f_2(0)$ soit $f_2(x)\geq 0$

Sur $[e;e^2]$ , $f_2$ est décroissante donc $f_2(x)\geq f_2(e^2)$ soit $f_2(x)\geq 0$

Sur $[e^2;+\infty[$ , $f_2$ est décroissante donc $f_2(x)\leq f_2(e^2)$ soit $f_2(x)\leq 0$

En résumé:

Sur $[0;e^2[$ , $f_2(x)\geq 0$

Sur $[e^2;+\infty[$ , $f_2(x)\leq 0$

B)1) $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

$f'_k(x)=k-1-\ln\,x$ s' annule pour $x=e^{k-1}$

Sur $]0;e^{k-1}]$ , $f'_k(x)\geq 0$ et $f_k$ est strictement croissante.

Sur $[e^{k-1};+\infty[$ , $f'_k(x)\leq 0$ et $f_k$ est strictement décroissante.

Ainsi $S_k(e^{k-1};e^{k-1})$ et $S_k$ appartient à la droite $d$ d' équation $y=x$

2) Equation de $T_k$ :

$y=f'_k(3)(x-3)+f_k(3)$

$y=(k-1-\ln\,3)(x-3)+3(k-\ln\,3)$

$y=(k-1-\ln\,3)\,x+3$

$T_k$ recoupe l' axe desordonnées au point $A(0;3)$ indépendant de $k$

Pour que la tangente en $S_k$ passe par $A(0;3)$ , il faut et il suffit que $e^{k-1}=3$

Soit $k=1+\ln\,3$

logarithme

Posté par re : logarithme 03-02-13 à 09:46

merci beaucoup de ton aide Cailloux

Posté par re : logarithme 04-02-13 à 00:13

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