bonjour : )

En réalité n'est pas une fonction, c'est plutôt l'expression de ta fonction.

On appellera la fontion étudiée. Elle est définie par sur un domaine que tu dois identifier.

Ensuite, on trouve effectivement que pour tout , .

Tu as juste besoin du signe du numérateur de la dérivée. Et tu as au moins deux façons de l'étudier :

1) Utiliser la concavité de la fonction logarithme népérien. Et on peut conclure très rapidement.
2) Etudier la signe de la fonction définie par sur .
Donc pour ici, on commence par établir le tableau de variations de puis on déduit son signe.

@gilou
L'enonce comporte-t-il d'autres questions ?

Bonjour , et merci beaucoup pour vos réponses

A mdr_non
La concavité est une notion que je ne maîtrise pas, mais j'ai trouvé un cours sur ce sujet, et je vais fouiller.
Pour l'étude de la nuit porte conseil,  je coince sur lim lorsque
Mais on voit bien qu'elle reste négative, et cela suffit peut être?
merci pour les idées!

A alb 12

Oui, on me demande ensuite:
Soit n un entier naturel >= 2
Monter qu'il existe un unique réel appartenant à ]0;1[ tel que =n
Montrer que = n

Mais je n'y ai pas encore réfléchi

merci de t'intéresser à mon problème.

Bonne journée à vous  

Qui donne cet exercice sans aucue indicaton ?

gilou,
En 0, il serait intéressant de transformer l'expression de et d'utiliser le résultat suivant : .

Pour exploiter la concavité de la fonction logarithme népérien tu aurais eu juste à comprendre deux choses :

Soit un intervalle de et .
a) Si est deux fois dérivable sur alors elle est dite concave sur si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur .
b) Si est dérivable sur un alors elle est concave sur si et seulement si son graphe est en dessous de chacune de ses tangentes.


Donc pour cet exercice :

La fonction logarithme népérien est au moins deux fois dérivable et elle est concave sur car sa dérivée seconde est négative. (a))

Ainsi, son graphe est en dessous de chacune de ses tangentes et en particulier sa tangente en . (b))

Donc en fait, pour tout :

on a d'où puis .

De cette étude on peut en déduire que la dérivée de est négative sur (que tu n'as toujours pas donné).
Tu dois ensuite faire attention à la conclusion que tu donneras.

1)

Df : x compris dans ]0 ; 1[ U ]1 ; +oo[

f'(x) = (1 - 1/x - ln(x))/(x-1)²
---

1 - 1/x - ln(x) = [(x - 1) - x.ln(x)]/x

Sur Df, f'(x) a le signe de g(x) = (x - 1) - x.ln(x)

g'(x) = 1 - ln(x) - 1 = - ln(x)

a) Pour x dans ]0 ; 1[
g'(x) > 0 --> g(x) est croissante sur cet intervalle.
lim(x--> +1-) g(x) = 0
Et donc g(x) < 0 sur ]0 ; 1[ --> g(x) < 0 --> f'(x) < 0 --> f est strictement décroissante sur ]0 ; 1[

b)
Pour x dans ]1 ; +oo[
g'(x) < 0 --> g(x) est décroissante.
lim(x--> +1+) g(x) = 0
Et donc g(x) < 0 sur ]1 ; +oo[ --> g(x) < 0 --> f'(x) < 0 --> f est strictement décroissante sur ]1 ; +oo[
--------------
2)

lim(x --> 0+) f(x) = -oo/-1 = +oo

lim(x --> +1-) f(x) = 1

Et on sait que f est strictement décroissante pour x dans ]0 ; 1[

Et donc ...

Sauf distraction.  

Bonjour
oui....le profil du posteur dit bac S
et en term S, la notion de concavité n'est pas étudiée...

d'où la question d'alb12 qui se demandait si une étude intermédiaire avait été demandée ou laissée à l'initiative comme le fait J-P

L'enonce donne peut etre l'ensemble de definition ?

"je cherche à étudier la fonction  ln(x)/(x-1) "
un enonce de mathematique ne peut pas commencer ainsi.
Ecris fidelement chaque mot de l'exercice

Bonsoir

Après plus de 24h on cherche encore  le domaine de définition de la fonction f définie par

C'est une fraction qui existe

quand le numérateur existe (la fonction ln est définie sur ...)
et
quand le dénominateur est non nul !

Peut-être qu'on a jamais précisé cette notion à gilou

Quand on regarde le profil de  gilou  on lit

Niveau = Ter S

Et plus de 90% des inscrits ont eu le bac !  

On pourrait espérer que certains élèves de Ter S prennent des initiatives

Oui, pardon,   =-{1}
Le sujet était Domaine de définition et variations de f(x) =

A mdr-non
==1- 1/0 = -
merci, et merci aussi pour l'explication sur la concavité

A J-P
et donc
f est une bijection de ]0;1[ vers ]1;+[
donc pour tout n ]1;+[ !   /
a fortiori si n Naturel et >2

Merci

La dernière question était: montrer que:


elle ne m'a pas posé de souci

merci à tous pour la rapidité de vos réponses

Oui très bien pour la limite, ce qui te permet d'arriver à la même conclusion que J-P pour l'étude de fonction que je t'ai proposée.

Pour ta rédaction du calcul de limite, évite d'écrire le 1/0, mais par exemple, écris plutôt de la façon suivante :

d'où par quotient puis par somme .


oui. Sache qu'on pouvait prolonger par continuité la fonction à en posant .


Pour la suite ok, tu as une faute de frappe : .


De rien : ) Bonne continuation : )