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logarithme et limite

Posté par matthieu59 (invité) 21-11-04 à 16:10

boujour, calculer la limite quand x tant vers 1+ puis quand x tant vers +de:

ln((2x+1)/(x-1))

Posté par dolphie (invité)solution 21-11-04 à 16:15

calcules déjà les limites de (2x+1)/(x-1).
Pour cela tu dois factoriser:
(2x+1)/(x-1) = 2 + 3/(x-1)

Ainsi, si x tend vers 1+, x-1 tend vers..... et alors 3/(x-1) tend vers.....
d'où 2+3/(x-1) tend vers......
et enfin ln (...) tend vers.....

Même démarche en + infini.

Posté par gilbert (invité)re : logarithme et limite 21-11-04 à 16:18

Quand x tend vers 1+, ln (2x+1) tend vers ln3 qui est positif et (x-1) vers 0+, donc le rapport tend vers +.
Pour l'autre on fait un changement de variable X=2x+1 et on arrive facoilement à la limite de (lnX)/X qui tend vers 0 lorsque X tend vers

Posté par gilbert (invité)re : logarithme et limite 21-11-04 à 16:23

Pardon j'avais mal vu les parenthèses...!
Il faut effectivement calculer les limites de (2x+1)/(x-1)
qui tend vers +si x tend vers 1+, donc ln((2x+1)/(x-1))tend vers +
qui tend vers 2 si x tend vers +, donc ln((2x+1)/(x-1))tend vers ln2

Posté par
Belge-FDLEre : logarithme et limite 21-11-04 à 16:40

Salut ,

Pour la première limite, je te conseille d'utiliser le fait que :  2$\rm~ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)
Pour la seconde au contraire, je te conseille de rester avec ta formule de départ.

Ainsi, tu aurais :

2$\rm~\lim_{x\to1^+}(ln(\frac{2x+1}{x-1}))~=~\lim_{x\to1^+}(ln(2x+1)-ln(x-1))

Or  2$\rm~\lim_{x\to1^+}(ln(x-1))~=~\lim_{x\to0^+}(ln(x))~=~-\infty
et  2$\rm~\lim_{x\to1^+}(ln(2x+1))~=~ln(3)

On a donc :

2$\rm~\lim_{x\to1^+}(ln(\frac{2x+1}{x-1}))~=~+\infty


Pour la deuxième limite, c'est encore plus simple, il faut faire comme avec les polynômes :

2$\rm~\lim_{x\to+\infty}(ln(\frac{2x+1}{x-1}))~=~\lim_{x\to+\infty}(ln(\frac{2x(1+\frac{1}{2x})}{x(1-\frac{1}{x})}))
2$\rm~\lim_{x\to+\infty}(ln(\frac{2x+1}{x-1}))~=~\lim_{x\to+\infty}(ln(\frac{2(1+\frac{1}{2x})}{1-\frac{1}{x}}))


Or  2$\rm~\lim_{x\to+\infty}(\frac{1}{2x})~=~\lim_{x\to+\infty}(-\frac{1}{x})~=~0

On a donc :

2$\rm~\lim_{x\to+\infty}(ln(\frac{2x+1}{x-1}))~=~ln(\frac{2\times1}{1})~=~ln(2)

Voilà .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

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