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Niveau terminale
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logarithme népérien

Posté par sophdem (invité) 19-12-04 à 17:04

Bonjour. je n'arrive pas à faire cet exercice (je comprend rien sur le log). pourriez-vous m'aider svp??

f est la fonction définie sur ]0;+ l'infini[ par f(x)=(1+lnx)/x.
et C est sa courbe dans un repère orthonormal (O,i,j)

1/Etudiez les variations de f.

2/ On note M1,M2,M3,M4 les points suivants de C:
   * M1 est l'intersection de C avec l'axe des abscisses
   * M2 est le point en lequel la tangente à C passe par l'origine du repère
   * M3 est le point en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses
   * M4 est le point en lequel la dérivée seconde de la fonction f s'annule.

   a) calculez les abscisses des points M1,M2,M3,M4.
   b) démontrez que ces abscisses sont en progression géométrique.

Voila. Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
Nightmare
re : logarithme népérien 19-12-04 à 17:51

Bonjour

Que n'arrives-tu pas a faire ?? Comprends-tu au moin les questions ??

1) Etudiez les variations de f , rien de plus trivial , qu'est-ce qui te poses probléme la dedans

2)
M1 est l'intersection de C avec l'axe des abscisses , c'est a dire que l'abscisse x du point M1 vérifie :
f(x)=0 , a toi de résoudre l'équation

TU connais la formule permettant de trouver l'équation d'une tangente a une courbe :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Celle-ci passe par l'origine donc par (0;0) . On en déduit son équation :
y=f'(0)(x-0)+f(0)

Deux droites sont paralléles si elles ont le même coefficient directeur . Le coefficient directeur d'une tangente en a est f'(a) . Le coefficient directeur de l'axe des abscisse est 0 . Il faut donc f'(a)=0

La dérivée seconde s'annule <=> f''(x)=0

Rien de dur , il suffit de savoir traduire l'énoncé

A toi de jouer


Jord

Posté par minotaure (invité)re : logarithme népérien 19-12-04 à 18:19

f(x)=(1+lnx)/x,x dans ]0,+infini[

u(x)=1+ln(x)
u'(x)=1/x

v(x)=x
v'(x)=1

f(x)=u(x)/v(x)

f'(x)=[u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/[v(x)^2]

donc f'(x)=[(1/x)*x-(1+ln(x))*1]/[v(x)^2]
f'(x)=(1-1-ln(x))/(x^2)
f'(x)=-[ln(x)]/(x^2)

f'(x)>=0 <=>ln(x)=<0 <=> x dans ]0,1]
f'(x)=0 <=>ln(x)=0 <=> x=1

lim f(x)=-inf ( facile)
x->0+

lim f(x)=0
x->+inf

car
lim 1/x=0
x->+inf      
et
lim ln(x)/x=0 (cours,ou formulaire normalement)
x->+inf

pour le tableau, il ne devrait plus y avoir de probleme.


2)
M1(x1,0)
M1 est sur C. donc (1+ln(x1))/x1=0
donc 1+ln(x1)=0 donc ln(x1)=-1
exp[ln(x1)]=exp(-1) car exp est une fonction definie sur R.
or exp[ln(x1)]=x1 car x1>0.
donc x1=exp(-1).

M2(x2,f(x2))

soit D une tangente a C.
D n'est pas une tangente verticale (car f' et f ont meme ensemble de definition)

equation de D (cours) y=f'(x2)*(x-x2)+f(x2)

donc y=(-ln(x2)/(x2)^2)*(x-x2)+(1+ln(x2))/x2

or D passe par O donc les coordonnees de O verifient l'equation de D.

donc 0=-(-ln(x2)/(x2)^2)*x2+(1+ln(x2))/x2=(1+2*ln(x2))/x2

ce qui revient a resoudre 1+2*ln(x2)=0
ln(x2)=-1/2

donc x2=exp[ln(x2)]=exp(-1/2) car x2>0.

donc x2=exp(-1/2), f(x2)=...

M3(x3,f(x3))

M3 est le point en lequel la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses

donc f'(x3)=0  donc x3=1

M4 ?
f'(x)=-[ln(x)]/(x^2)

s(x)=-ln(x)
s'(x)=-1/x
t(x)=x^2
donc t'(x)=2*x

f'(x)=s(x)/t(x)
f''(x)=[s'(x)*t(x)-s(x)*t'(x)]/[t(x)^2]
donc f''(x)=[-x+2*x*ln(x)]/(x^4)=[-1+2*ln(x)]/(x^3)
M4(x4,f(x4))
f''(x4)=0 <=> -1+2*ln(x4)=0 <=>ln(x4)=1/2 <=>x4=exp(1/2)


x1=exp(-1)
x2=exp(-1/2)
x3=1
x4=exp(1/2)

x2/x1=...
x3/x2=...
x4/x3=...
a toi de remplir les ...

on remarque le fait suivant :
soit i dans [2,4] inter N :
xi=x(i-1)*exp(1/2)
ce qui montre que ces abscisses sont en progression geometrique.

a+



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