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logarithme népérien
Bonjour, merci de prendre le temps de lire mon message. je suis en terminale stl et on m'a donné un devoir maison à rendre pour le lundi 2 novembre. Mon devoir porte sur le logarithme népérien et je ne comprend pas. voila mon dm:
avec une fonction auxiliaire, equation f(x)= lambda
I) On note g la fonction définie sur l'intervalle ]0;+ l'infini[ par g(x)=2(lnx/x)+1
1)Calculer les limites de g en 0+ puis en + l'infini.
2)Calculer la dérive de g(x) de telle sorte que le résultat soit g'(x)=(2(1-lnx))/x^2 sur l'intervalle ]0;+l'infini[ .
3)Etudier le signe de g'(x), suivant les valeurs du nombre réel x.
donner le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0;+l'infini[ (on indiquera les valeurs exacte de g(e) ).
4)-Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x0 dans l'intervalle ]0;e[.
-Déterminer la valeur du nombre réel x0 arrondie au dixième.
-Déduire de ce qui précède le signe de g(x), suivant les valeurs de x.
II)On note f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+l'infini[ par f(x)=(lnx)^2+x. On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repéré orthonormé (O;i;j).
Sur l'annexe, a rendre avec la copie, on a construit la courbe C sur l'intervalle ]0;3].
1)Calculer la limite de f en 0( interpréter graphiquement le résultat )(=asymptote verticale en x=0 vers + l'infini), puis calculer la limite de la fonction f en + l'infini.
2)On désigne par f' la fonction dérivé de la fonction f sur l'intervalle ]0;+l'infini[.
Calculer f'(x) et montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;+l'infini[ , f'(x)=g(x)
3)Donner le tableau de variation de la fonction f puis Calculer la valeur de f(x0) arrondie au dixième (on utilisera pour x0 la valeur o.7)
4)-Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.
-Etudier la position relative de la tangente T et de la courbe C
-Construire la droite T sur la figure de l'annexe .
merci d'avance pour votre aide.
Merci pour votre aide.
Honnêtement je n'ai pas cerné mon cours donc une aide étape par étape serrai l'idéal.
OK. Commençons donc.
I)
1) La limite de g en +infini est la plus facile à calculer. En effet, dans ton cours sur les limites avec logarithmes, on te donne la limite en +infini de (ln x/x).
Dans mon cours il est indiqué que g (x)=-l'infini quand x tend vers 0+ et g (x)=+l'infini quand x tend vers +l'infini
Très bien.
Donc comme , par conséquent :
. (Asymptote horizontale d'équation y=1 alors au voisinage de +infini)
Reste à calculer la limite en 0+ de g :
Comme et
, par produit de limites on a :
.
Ainsi : .
2) Je te laisse calculer la dérivée de g. C'est de la forme u/v avec u=ln(x) et v=x. Et la dérivée de u/v est donnée par (u'v-v'u)/v².
Le résultat que je trouve est (1-ln (x))/x^2 mais je dois trouver un résultat égale à (2 (1-ln (x)))/x^2 il me manque le 2 et je ne vois pas comment l'introduire dans le résultat final
Justement la dérivée de ln x/x que tu as bien calculé est : (1-ln(x))/x².
Or avec le 2 de devant, tu tombes alors bien sûr le résultat final !! A savoir : g'(x) = 2(1-ln(x))/x². 
3) Puisque sur l'intervalle ]0;+infini[, le dénominateur x² est toujours positif, g' est alors du signe du numérateur 2(1-ln x). Je te laisse étudier le signe de ceci.
Je vais aller déjeuner, je serai de retour dans environ 1h. 
De retour.
3) Il faut donc étudier le signe de 2(1-ln x). Ceci s'annule lorsque 1-ln x = 0 <=> ln x = 1 <=> x = e.
Ainsi :
Si x<e, alors ln x < 1 <=> 2(1-ln x) > 0 <=> g'(x) > 0.
Si x>e, alors ln x > 1 <=> 2(1-ln x) < 0 <=> g'(x) < 0.
=> g est croissante sur ]0;e[ et décroissante sur ]e;+infini[. De plus, g(e) = 2(ln e/e) + 1 = 2/e + 1.
De plus, n'oublies pas les limites trouvées en 0 et en +infini lors de ton tableau de variation.
2.73 (et non pas 1.73...)Je viens de refaire le tableau en reprenant les résultats de la q 1 et de celle ci ainsi que les calculs et j'ai fini par comprendre le raisonnement.
Merci vraiment.
Je pense je peux me débrouiller pour les deux premiers tirés de la q 4 mais je ne comprends pas le 3 ème tiré.Pourriez vous encore m'aider s'il-vous-plaît pour la suite du devoir ?
Justement, pour répondre au 3e tiret, le signe de g(x) sera positif (ou négatif) suivant la valeur de x0 que tu auras trouvé lors du 2e tiret.
Je ne vois pas comment résoudre 2 ln (x)/x=0.
Finalement je n'aurai pas su me débrouiller pour le second tirer.
On ne te demande pas de résoudre 2ln(x) / x = 0 !! De toute façon on ne sais pas le résoudre...
On te demande de déterminer la valeur de x0 tel que g(x0)=0.
Il faut le déterminer à l'aide de la calculatrice !! Tester plusieurs valeurs de x0 (0.1, 0.2, 0.3, etc...) et tu verras qu'à partir d'une certaine valeur x0, le résultat va changer de signe !!
Je tenais à vous remercier car grâce à vous j'ai pu enfin réaliser mon dm (le second exercice etant beaucoup plus simple que le 1er ) et même si il n est pas noté, au moins j'ai pu comprendre cette leçon et je serai prêt pour le contrôle.
Merci encore😊.
Cette valeur x0 est égale justement à 0.7.
D'ailleurs lors de la partie II cette valeur sera utilisée...
bonjour, pouvez vous me donné le corrigé de ces 2 exercices car moi aussi j'ai 1 dm rendre sur ces 2 exercice justement.
merci de votre compréhension
Bonjour,
Toute la partie I) a été entièrement traitée, il suffit de lire les posts précédents...
Après, s'il y a une question de cette partie qui te gêne, n'hésites pas...
j'ai relis les posts précédents, mais je n'arrive pas a faire le 1er et 3eme tiret de la question 4, pouvez m'aidé, Merci.
Donc, à mon post plus haut de 15h59, tu as déjà les variations de g sur ]0;+inf[.
4) Pour démontrer le 1er point, tu dois utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Que dit alors ce fameux théorème ? Il faut voir le cours...
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