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Logarithme népérien

Posté par
zartos 25-02-17 à 16:52

Salut,

J'ai besoin d'aide sur la question 2)a/ de cet exercice:

On considère la suite S_n définie par:

Pour tout n \ge 2 , S_n = \Sum_{k=2}^{n} \dfrac{ln(k)}{k^2}

1)a- Etudier les variation de la fonction f:x->\dfrac{ln(x)}{x^2} sur ] 0 , +\infty [

b- En déduire que pour tout k \ge 2 on a:

f(k+1) \le \int_{k}^{k+1} f(t)  dt \le f(k)

2)a- Mq pour tout n \ge 2

S_n - f(2) \le \int_{2}^{n} f(t)  dt \le S_n - f(n)

Voici ce que j'ai fait:

on a f(k+1) \le \int_{k}^{k+1} f(t)  dt \le f(k)

             \sum_{k=2}^{n} f(k+1) \le \sum_{k=2}^{n}\int_{k}^{k+1} f(t)  dt \le \sum_{k=2}^{n}f(k)

             S_n + f(n+1) \le \int_{2}^{n} f(t) dt + \int_{n}^{n+1} \le S_n

Merci d'avance

Posté par
luzakre : Logarithme népérien 25-02-17 à 17:54

Bonsoir !
Tu as oublié un -f(2) puisque tu commences avec k+1=3 !

Pour avoir\int_2^nf tu as intérêt à sommer  entre 2 et n-1 les inégalités f(k+1)\leqslant\int_{k}^{k+1}f\leqslant\int_{k}^{k+1}f\leqslant f(k).

Il vient alors S_n-f(2)\leqslant\int_2^nf\leqslant S_n-f(n)

Posté par
zartosre : Logarithme népérien 25-02-17 à 21:06

C'est bon! Merci beaucoup luzak!

Posté par
zartosre : Logarithme népérien 25-02-17 à 21:33

Il me demande juste après d'en déduire que:

\int_{2}^{n} f(t) dt + \dfrac{ln(n)}{n^2} \le S_n \le \int_{2}^{n} f(t) dt + \dfrac{ln(2)}{2^2} que je ne parviens pas à faire.

Posté par
luzakre : Logarithme népérien 25-02-17 à 23:28

Pas possible !
Tu as donc "oublié"qui est f ?
f(n)=?,\;f(2)=?

Posté par
luzakre : Logarithme népérien 25-02-17 à 23:31

Le "bon" message :
Pas possible !
Tu as donc "oublié"qui est f ?
f(n)=?,\;f(2)=?

Posté par
zartosre : Logarithme népérien 25-02-17 à 23:35

Oui mais j'ai pas su comment aboutir à l'inégalité demandée

Posté par
luzakre : Logarithme népérien 26-02-17 à 10:00

A partir de çà

Citation :

Il vient alors S_n-f(2)\leqslant\int_2^nf\leqslant S_n-f(n)

il n'y a aucune difficulté à écrire
S_n\leqslant f(2)+\int_2^nf,\;\int_2^nf+f(n)\leqslant S_n
puis remplacer f(2),\;f(n) par leurs valeurs.

Posté par
zartosre : Logarithme népérien 26-02-17 à 10:14

Ouh la, ça m'a complètement échappé

Merci beaucoup luzak!


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