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Logarithme népérien

Posté par
Samsco 09-05-20 à 22:13

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Déterminer et construire les ensembles (E1) , ( E2) , (E3) , (E4) des points du plan dont les coordonnées vérifient respectivement :

(E1): ln(xy)=ln x + ln y
(E2): ln(x+y)=lnx + ln y

(E_3):\ln(\dfrac{x+2y}{3})=\dfrac{1}{2}(\ln x+\ln y) \\ (E_4):\ln|x|+\ln|y|=0

Réponses :

(E_4):\forall x\neq 0~et~y\neq 0~,\ln|x|+\ln|y|=0 \\ \iff \ln|xy|=0 \\ \iff |xy|=1 \\ \iff xy=1~ou~xy=-1
Je ne sais pas à quel ensemble ça correspond

Posté par
co11re : Logarithme népérien 09-05-20 à 22:21

Bonsoir,
(E4) par exemple xy = 1 équivaut  à y = 1/x. Là, ça doit aller?

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 09-05-20 à 22:27

L'ensemble (E4) est alors la fonction inverse

Posté par
co11re : Logarithme népérien 09-05-20 à 22:32

L'ensemble (E4) est la courbe représentative de cette fonction.
Et il reste l'équation xy = -1 à voir.

Cela dit, je m'arrête pour ce soir, à demain peut-être.  

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 09-05-20 à 22:52

L'ensemble (E4) est la reunion des courbes représentatives de la fonction inverse et celle de sa symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Posté par
co11re : Logarithme népérien 10-05-20 à 10:24

C'est ça.

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 20:34

(E_2):\forall x>0~et~y>0~\ln(x+y)=\ln x+\ln y \\ \iff \ln(x+y)=\ln(xy) \\ \iff x+y=xy \\
Je ne sais pas à quel ensemble ça correspond

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 20:37

A moins que:
x+y=xy
y-xy=-x
xy-y=x
y(x-1)=x

y=x/(x-1)

L'ensemble (E4) est la courbe représentative de la fonction x/(x-1)

Posté par
co11re : Logarithme népérien 10-05-20 à 20:45

Tu peux exprimer y en fonction de x pour commencer

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 20:46

Déjà fait

Posté par
co11re : Logarithme népérien 10-05-20 à 20:47

Nous nous sommes croisés.
Oui c'est ça , sans oublier que x > 0 et y > 0

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:02

co11 @ 10-05-2020 à 20:47

Nous nous sommes croisés.
Oui c'est ça , sans oublier que x > 0 et y > 0

Oui j'avais précisé à 20h34

(E_3): \forall x>0~et~y>0~\ln(\dfrac{x+2y}{3})=\dfrac{1}{2}(\ln x+\ln y) \\ \iff \ln(\dfrac{x+2y}{3})=\ln(\sqrt{xy}) \\ \\ \iff \dfrac{x+2y}{3}=\sqrt{xy} \\ \\ \iff xy=\dfrac{(x+2y)²}{9} \\ \iff (x+2y)²=9xy \\ \iff (x+2y)=3\sqrt{xy}~ou~(x+2y)=-3\sqrt{xy} \\ \\ x>0~et~y>0~donc~x+2y>0 \\ \\ x+2y=2\sqrt{xy} \\ 2y-2\sqrt{xy}=-x \\ 2(\sqrt{xy}-y)=x \\ y=\sqrt{xy}-\dfrac{x}{2}

Posté par
Priamre : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:12

La première ligne des quatre dernières : élève au carré les deux membres.

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:19

OK

(x+2y)=2\sqrt{xy} \\ x²+4xy+4y²=4xy \\ x²+4y²=0 \\ x²+(2y)²=0 \\ (2y)²=-x²(impossible) \\
(E3) n'existe pas

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 21:26

Est ce que c'est bon?

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 10-05-20 à 22:22

Bonjour,

non, la 2e ligne de ton post de 21:19 est d'ailleurs fausse

il vaut mieux partir  de (x+2y)^2=9\,x\,y et développer; tu obtiendras une équation du 2d degré en y d'où 2 valeurs de y en fonction de x

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 22:34

Samsco @ 10-05-2020 à 21:19

OK

(x+2y)=\red{3}\sqrt{xy} \\ x²+4xy+4y²=\red{9}xy \\ x²+4y²\red{-5xy}=0 \\ \red{5xy-4y²=x²} \\ \red{y(5x-4y)=x²} \\ \red{y=\dfrac{x²}{5x-4y} \\ \\

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 10-05-20 à 22:44

\large 4y^2-5xy+x^2=0

\large y=\dfrac{5x\pm \sqrt{25x^2-16x^2}}{8}

...

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 10-05-20 à 23:01

Pirho @ 10-05-2020 à 22:44

\large 4y^2-5xy+x^2=0

\large y=\dfrac{5x\pm \sqrt{25x^2-16x^2}}{8}

...

C'est un peu rapide pour moi ,comment trouver y en fonction de x?

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 10-05-20 à 23:07

tu procèdes comme si tu avais un nombre au lieu de x

\large y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

avec \large a=4, b=5\,x, c=x^2

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 10-05-20 à 23:11

oups!

avec \large a=4, b=\textcolor{red}{-5}\,x, c=x^2

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 01:19

Pirho @ 10-05-2020 à 22:44

\large 4y^2-5xy+x^2=0

\large y=\dfrac{5x\pm \sqrt{25x^2-16x^2}}{8}

...

Compris

(E3) est la réunion des courbes représentatives des fonctions:

\large y=\dfrac{5x\pm \sqrt{25x^2-16x^2}}{8}

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 01:29

Plus précisément

\large y=\dfrac{5x\pm 3x}{8} \\ \\ \large y=\dfrac{2}{8}x~ou~y=\large y=\dfrac{5}{8}x

(E3) est la réunion des courbes représentatives de ces deux droites

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 11-05-20 à 08:17

Samsco @ 11-05-2020 à 01:29

Plus précisément

\large y=\dfrac{5x\pm 3x}{8} \\ \\ \large y=\dfrac{2}{8}x~ou~y=\large y=\dfrac{5}{8}x

tu es sûr de ta 3e ligne?


de plus, n'oublie pas les conditions sur x et y

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 13:16

Oui x>0 et y>0
donc √(9x²)=3x
2/8=1/4

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 11-05-20 à 13:20

Samsco @ 11-05-2020 à 13:16

Oui x>0 et y>0
donc √(9x²)=3x
2/8=1/4


je ne comprends pas!

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 13:35



\large y=\dfrac{5x\pm\sqrt{25x^2-16x^2}}{8}=\dfrac{5x\pm \sqrt{9x²}}{8}
Comme x>0 alors √(9x²)=3x

\large y=\dfrac{1}{4}x~ou~y=\dfrac{5}{8}x

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 11-05-20 à 13:56

la 2e valeur de y est fausse

ensuite donne aussi  les ensembles de points

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:11


\large y=\dfrac{5x\pm\sqrt{25x^2-16x^2}}{8}=\dfrac{5x\pm \sqrt{9x²}}{8}
Comme x>0 alors √(9x²)=3x

\large y=\dfrac{1}{4}x~ou~y=x
Ah oui

(E3) est la réunion des courbes représentatives de la première bissectrice et de celle droite la droite y=1/4 x

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:16

Seulement sur ]0 ; +[

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:19

c'est juste, je me disais pour la 2e valeur de y; il est un peu fatigué aujourd'hui

Posté par
Samscore : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:45

MDR , c'est sans doute ça

Merci

Posté par
Pirhore : Logarithme népérien 11-05-20 à 14:55

de rien


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