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Niveau terminale
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logarithme népérien

Posté par
isab2
27-01-22 à 10:37

Bonjour, j'ai besoins d'aide sur cette exercice

1. Montrer que pour tout x E ]0; +oo[ : \ln (1+x)-x\leq 0
J'ai trouvé que la dérivée est \frac{-x}{1+x}. Je sais que je dois étudié la variation mais je ne trouve pas quand est-ce que la fonction s'annule

2. Montrer que pour tout x E ]0; +oo[ : \ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}\geq 0

3. En déduire que pour tout x E ]0; +oo[ : x-\frac{x^2}{x}\leq \ln (1+x)\leq x
Théorème des gendarmes ?


4. En déduire que \lim x\rightarrow 0 et x>0 \frac{\ln (1+x)}{x}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logarithme népérien 27-01-22 à 10:53

Bonjour,
Pour 1), tu as calculé la dérivée d'une fonction.
Il faut préciser laquelle.
En écrivant par exemple, f(x) = ln(1+x) - x pour x > -1.
f'(x) = -x/(1+x)
Il te reste à étudier le signe de cette dérivée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logarithme népérien 27-01-22 à 10:54

Le théorème des gendarmes, ce sera pour la question 4).

Posté par
carpediem
re : logarithme népérien 27-01-22 à 10:55

salut

quand on étudie les variations d'une fonction en passant par la dérivée ce n'est pas la nullité de la dérivée qui nous intéresse mais ... ?

Posté par
isab2
re : logarithme népérien 27-01-22 à 11:15

f(x) = ln(1+x) - x pour x > -1; f'(x) = \frac{-x}{1+x}
x+1>-x, soit \frac{-x}{1+x}\leq0 alors la dérivée est négative sur ]0;+oo[

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logarithme népérien 27-01-22 à 12:05

C'est x+1 > 0 et Pas -x.
Comme le dénominateur de -x/(x+1) est positif, la dérivée est du signe du numérateur.
Autrement dit, du signe de -x.
Je te conseille de faire le tableau de variation de la fonction f sur ]-1; +[.

Posté par
isab2
re : logarithme népérien 27-01-22 à 12:15

D'accord merci (:

      x             -1                0                  +oo
     -x                     +                  -
(1+x)        0        +                  +
f'(x)           0        +                  -
f(x)             l croissant    décroissant

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logarithme népérien 27-01-22 à 12:24

Oui, et f(0) = ?

Posté par
isab2
re : logarithme népérien 27-01-22 à 12:38

f(0)=ln(1+0)-0
        =ln(1)=0
Donc la fonction admet un maximum 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : logarithme népérien 27-01-22 à 13:25

Pourquoi ce point d'interrogation ?
Je ne vais plus être disponible. Mais carpediem le sera peut-être.

Posté par
carpediem
re : logarithme népérien 27-01-22 à 14:09

oui et donc ... ? (conclusion : relire la question !!)

2/ faire la même chose ...



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