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Logarithme népérien et série harmonique

Posté par
Solalspc
24-03-20 à 18:04

Bonjour,
Mon exercice est le suivant :
1- Montrer que, pour tout réel x>0, ln (x+1) \leq ln (x) +\frac{1 }{x}
2- En déduire que, pour tout n \in N*, ln (n+1) \leq \sum_{k=1}^{n}{\frac{1 }{k}}.

J'ai réussi la 1- (même si cela manque surement un peu de rigueur) mais je sèche pour la 2-. J'ai d'abord pensé montrer par récurrence que pour tout n \in N*,  ln (x) +\frac{1 }{x} \leq \sum_{k=1}^{n}{\frac{1 }{k}}.
Mais après avoir tenté cette méthode je n'arrive pas.
Je ne comprend pas bien comment réutiliser le résultat de la question précédente.

Merci d'avance.

Posté par
matheuxmatou
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:06

bonjour

explique ce que tu as fait pour la 1 déjà

Posté par
malou Webmaster
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:06

bonjour
le "en déduire" est important et devrait te mettre sur la voie
tu peux l'écrire

pour tout réel x>0, ln (x+1) - ln (x) \leq \frac{1 }{x}

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:14

Ah oui désolé, c'est vrai que ça peut aider.


Logarithme népérien et série harmonique

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:15

suite

Logarithme népérien et série harmonique

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:16

Et après, il reste une phrase de conclusion où je récapitule tout.
Désolé pour les images mais c'est plus clair que si j'avais tout recopié en latex.

Posté par
matheuxmatou
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:22

c'est du grand n'importe quoi ton copié collé de corrigé que tu as trouvé je sais pas où !

ta fonction g est croissante et tend vers 0 à l'infini ... donc elle est négative et puis c'est tout

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:25

C'est le mien, je suis sincère, je ne serais pas venu vous poser la question sinon.
Si vous pouviez me dire la où je me suis trompé svp ?
Je travaille sur One Note et j'ai juste fais des captures d'écran de mon fichier.

Posté par
matheuxmatou
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:26

ok

donc c'est bien compliqué pour montrer que ta fonction g est négative !

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:27

Ah oui, à un moment je fais référence à une question 1-b) qui correspond à une question de l'exercice qui précéde celui-ci où l'on montre que la limite de x ln (x) en 0 est 0.

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:28

Oui mais je ne savais pas si c'était suffisant comme condition pour dire que elle était négative.

Posté par
alb12
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:41

salut,
@Solalspc
j'imagine que ta reponse sera negative mais je pose tout de meme la question:
as tu traite le chapitre integrales/primitives ?

Posté par
matheuxmatou
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:44

pour la question suivante :

ln(n+1) = (ln(n+1)-ln(n)) + (ln(n)-ln(n-1)) + (ln(n-1)-ln(n-2)) + .... + ln(3)-ln(2)) + (ln(2) - ln(1))

et tu majore chaque terme avec la question précédente

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:44

Bonjour @alb12, nous ne l'avons pas encore abordé en cours.

Posté par
alb12
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:45

ok

Posté par
Solalspc
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:49

@matheuxmatou Merci beaucoup, j'ai bien compris, je vais essayer de rédiger ça au propre.

Posté par
matheuxmatou
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 18:50

pas de quoi

Posté par
carpediem
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 20:57

salut

Solalspc @ 24-03-2020 à 18:14

Ah oui désolé, c'est vrai que ça peut aider.

Logarithme népérien et série harmonique
c'est une chose de travailler par récurrence ... mais le pb est de partir du résultat qu'on veut montrer !!!

montrer que ln (x + 1) =<  ln x + 1/x revient (est équivalent) à montrer que ln (x + 1) - ln x - 1/x =< 0

donc le principe est d' étudier (le signe de) la fonction h(x) = ln (x + 1) - ln x - 1/x  et de montrer qu'il est négatif bien sûr !!


or h(x) = ln (1 + 1/x) - 1/x  et étudier h sur ]0, + oo[ est équivalent à étudier la fonction g(x) = h(1/x) = ln (1 + x) - x sur le même intervalle

et la dérivée tout autant que son signe de la fonction g(x) = ln (1 + x) - x est autrement plus aisé que celui de h

on conclut alors avec sa limite en +oo comme tu l'as fait ...

et on peut alors conclure ...

Posté par
malou Webmaster
re : Logarithme népérien et série harmonique 24-03-20 à 21:31

Solalspc tu as sur ce site toutes les fonctionnalités pour écrire des maths facilement.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?



en particulier, tu as l'assistant Ltx (le Ltx entouré sur l'image)
Logarithme népérien et série harmonique



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