Bonjour.
Une piste est de considérer trois fonctions : ; g(x)=ln(1+x); h(x)=x.
En 0, tu as f(0)=g(0)=h(0). Tu considères la tangente en (0,0) pour chaque fonction et tu obtiens y=x. De plus, et donc de concavité vers le bas.  Donc, il vient si .  Faire de même avec f et g (le graphe de f est une parabole tournée vers le bas).

salut
autre possibilite :
le conseil qu'on t'a donné est faisable.
soient f,g definie sur R+ par
f(x)=ln(1+x)-x+(x^2/2)
g(x)=x-ln(x+1)
etude de f, tableau de variation et tu montres que f(x)>=0 pour x>=0
meme chose pour g.

2)ln(U(n))=ln(1+1/n^2)+ln(1+2/n^2)...+ln(1+n/n^2)

soit a dans [1,n] inter N.
si on prend x=a/n^2 d'apres 1)
a/n^2-a^2/(2*n^4)=<ln(1+a/n^2)=<a/(n^2) (1)

petit intermede :
*****************

on pose S=(1/n^2)*(1+2+3+...n)
comme 1+2+...+n=n*(n+1)/2 (somme des termes d'une suite
arithmetique...)
donc S=(1/n^2)*(n*(n+1)/2)=(n+1)/(2*n)

on pose P=(1/(2*n^4)*(1+4+9+...+n^2)

or 1+4+...+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6
pour le demontrer raisonnement par recurrence...

donc P=(1/(2*n^4))*n*(n+1)*(2*n+1)/6
donc P=(n+1)*(2*n+1)/(12*n^3)

pourquoi tout ca ?  ca arrive :
pour chaque valeur de a allant de 1 a n, a partir de (1) on obtient n double inegalites.
on fait la somme de toutes et on a :
S-P=<ln(U(n))=<S
or lim P=0
n->+inf
lim S=1/2
n->+inf
donc lim (S-P)=1/2
n->+inf
d'apres le theoreme des deux gendarmes :
lim ln (U(n))=1/2
n->+inf
donc lim U(n)=exp(1/2)
n->+inf.

a+