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Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel

Posté par
Akimasa
27-01-13 à 21:29

Bonsoir,

J'ai rencontré un problème avec un exercice basé sur les résultats d'un logiciel de calcul formel, et sur le chapitre fonction logarithme népérien.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît et compléter mes doutes?
Voici l'énoncé :

La fonction g est définie sur ]0;+infini[ par
g(x)= 2x²+1-Ln(x)

1) Pour étudier la fonction g, on utilise un logiciel de calcul formel : ( XCAS téléchargeable gratuitement)
On a :
deriver(g(x)) = 2*2*x-(1/x)

Factoriser(deriver(g(x))) = (2*x-1)*(2*x+1)
                                                  x

g(1/2) = 3/2 - ln(1/2)

A l'aide des informations fournies par le logiciel (ci-dessus), justifier que pour tout x > 0
g(x)> ou égal (3/2) - ln(1/2)

Voilà pour un début, merci de votre aide précieuse et de votre temps consacré.

Cordialement,

Akimasa , Terminale S

Posté par
Yzz
re : Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel 27-01-13 à 21:49

Salut,
La dérivée est du signe de 2x-1 , car les autres termes de g'(x) sont positifs pour x>0.
Donc g est décroissante avant 1/2 et croissante après 1/2.
Donc 1/2 est le minimum de g.
Or g(1/2) = 3/2 - ln(1/2) ...

Posté par
Akimasa
re : Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel 28-01-13 à 19:32

Ah merci beaucoup pour cette réponse. Et que faut-il répondre aux questions suivantes s'il te plaît :
On a la courbe C de l'équation : f(x) = 2x + ln(x)/x

2) Calculer les limites de f en 0 et en l'infini et que peut-on en déduire?


Je trouve  -infini en 0  et +infini je trouve 0.
J'en ai déduit qu'il y avait une asymptote verticale d'équation x=0 mis à part ça,  je ne sais pas.



3) Soit la droite d d'équation y= 2x
Etudier la position relative de d et C .

C'est assez confus quand on voit, car cela varie pendant un certain temps, l'une est au dessus l'autre, puis elles sont au même niveau je crois.
Pourriez-vous m'éclairer sur cela, merci !

4)Soit A un point de C d'abscisse a 1 et B le point de d ayant la même abscisse a.
Pour quel réel "a" la longueur AB est-elle maximale?

Aucune idée quant à cette question.


Merci de votre aide !

Posté par
Yzz
re : Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel 28-01-13 à 19:53

2 : oui pour -oo en 0 , mais en +oo tu as 0 pour ln(x)/x et +oo pour 2x , donc f tend vers +oo.
3 : il faut étudier le signe de f(x)-2x (positif --> Cf au dessus de d , négatif --> Cf en dessous de d).
Or f(x)-2x = ln(x)/x , qui est du signe de ln(x) (car x>0). Donc f(x)-2x est négatif avant 0 et positif après.

Posté par
Yzz
re : Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel 28-01-13 à 19:53

Rectif :
Donc f(x)-2x est négatif avant 1 et positif après.

Posté par
Akimasa
re : Logarithme Népérien, Logiciel Calcul Formel 03-02-13 à 12:14

Merci de ta réponse ! Ca m'a résolu mes doutes!



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