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logarithmes

Posté par prisou (invité) 21-12-04 à 15:59

Soit f la fonction définie par f(x)=6x-2-2xlnx pour x infèrieur a 0.

Bjr tt lmonde,j'ai des petites(grosses)difficultés en math et particulier avec les logarithmes pourriez vous m'aider svp??
merci
1)Déterminer la limite de f en o.
2)Montrer que f(x)=x(6-2/x-2lnx) et en déduire la limite de f en plus l'infini.

3)Calculer f'(x) et montrer que f'(x)=4-2lnx.
4)Etudier l'annulation de f'(x).
5)Etudier le signe de f'(x).
6)Donnner le tableau de variations complet de f.
7)Préciser els extremums de f.

Posté par
Nightmarere : logarithmes 21-12-04 à 16:44

Bonjour

\lim_{x\to 0} x.\mathrm{ln}(x)=0 (limite usuelle)

donc :
\lim_{x\to 0} \mathrm{f}(x)=6\times0-2-2\times0
c'est a dire :
\fbox{\lim_{x\to 0} \mathrm{f}(x)=-2}

2) En factorisant par x :
\mathrm{f}(x)=x\(6-\frac{2}{x}-2\mathrm{ln}(x)\)

or :
\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x}=0
et :
\lim_{x\to +\infty} -\mathrm{ln}(x)=-\infty

On en déduit :
\lim_{x\to +\infty} 6-\frac{2}{x}-2\mathrm{ln}(x)=-\infty

donc :
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{f}(x)=(+\infty).(-\infty)
i.e
\fbox{\lim_{+\infty} \mathrm{f}=-\infty}

3)\begin{tabular}\frac{d}{dx}\(2x\mathrm{ln}(x)\)&=&2\mathrm{ln}(x)+2x\frac{1}{x}\\&=&2\mathrm{ln}(x)+2\end{tabular}

On en déduit :
\begin{tabular}\mathrm{f}'(x)&=&6-0-2\mathrm{ln}(x)-2\\&=&\fbox{4-2\mathrm{ln}(x)}\end{tabular}

4) f' s'annule pour 4-2\mathrm{ln}(x)=0
c'est a dire :
\mathrm{ln}(x)=2
soit :
\fbox{x=\mathrm{e}^{2}}

5) On en déduit que f' est positive pour x\le \mathrm{e}^{2}
et négative pour x\ge\mathrm{e}^{2}

Je te laisse terminer , le plus gros est fait


jord

Posté par prisou (invité)re : logarithmes 21-12-04 à 16:53

merci bcp sa va bcp m'aidez

Posté par
Nightmarere : logarithmes 21-12-04 à 17:01

Pas de probléme

n'hésite pas à demander si quelque chose reste incompris


Jord

Posté par prisou (invité)re : logarithmes 21-12-04 à 17:09

merci


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