Bonjour!
J'ai un exercice a faire sur les logarithmes que je vous mets a la suite :
Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0;+infini[ par fk(x)=ln(ex + kx)-x.
Soit Ck la courbe représentative de la fonction fk.
Partie A. Étude de la fonction f1 définie sur [0;+infini[ par : f1=ln ( ex+x)-x
1)Calculer f1'(x) pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0:+infini[ et en déduire le sens de variation de la fonction f1.
2) Montrer que pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ f1(x) = ln(1+(x/ex)). En déduire la limite f1 en +infini.
3) Dresser le tableau de variation de f1.
Partie B. Étude et propriétés des fonctions fk.
1) Calculer fk'(x) pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ et en déduire le sens de variation de la fonction fk.
2) Montrer que pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ fk(x)=ln(1+k(x/ex)). En déduire la limite de fk en +infini.
3) a) Dresser le tableau de variation de fk.
b) Montrer que pour tout réel x d l'intervalle [0;+infini[, on a : fk(x)=<k/e.
4) Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p<m. Étudier la position relative des courbes Cp et Cm.
J'ai fait tout l'exercice jusqu'à la question 3)b) de la partie B sans problème. J'ai déjà vu cet exercice sur le forum de traité mais je ne comprends pas comment determiner la fonction g(x).. (lien de l'exercice sur le forum :https://www.ilemaths.net/sujet-dm-de-math-534912.html
Si quelqu'un pouvait m'eclairer, je lui en serais très reconnaissante ! Merci
Bonjour,
3)b) Soit définie par
sur
sur
donc est décroissante sur
et comme ,
sur
On a prouvé que pour tout ,
do,c avec , on a
Il ne s' agit pas de "trouver"
Il s' agit de montrer que pour tout :
Or il se trouve que pour tout (d' ailleurs même pour tout
):
Il est donc naturel pour le prouver d' utiliser la fonction différence et de montrer qu' elle est négative sur
en étudiant ses variations.
Puis de particulariser avec
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