Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Logarithmes

Posté par
eaudouss
24-02-16 à 10:48

Bonjour!
J'ai un exercice a faire sur les logarithmes que je vous mets a la suite :

Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction fk définie sur [0;+infini[ par fk(x)=ln(ex + kx)-x.
Soit Ck la courbe représentative de la fonction fk.

Partie A. Étude de la fonction f1 définie sur [0;+infini[ par : f1=ln ( ex+x)-x
1)Calculer f1'(x) pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0:+infini[ et en déduire le sens de variation de la fonction f1.
2) Montrer que pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ f1(x) = ln(1+(x/ex)). En déduire la limite f1 en +infini.
3) Dresser le tableau de variation de f1.

Partie B. Étude et propriétés des fonctions fk.
1) Calculer fk'(x) pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ et en déduire le sens de variation de la fonction fk.
2) Montrer que pour tout réel x appartenant a l'intervalle [0;+infini[ fk(x)=ln(1+k(x/ex)). En déduire la limite de fk en +infini.
3) a) Dresser le tableau de variation de fk.
b) Montrer que pour tout réel x d l'intervalle [0;+infini[, on a : fk(x)=<k/e.
4) Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p<m. Étudier la position relative des courbes Cp et Cm.

J'ai fait tout l'exercice jusqu'à la question 3)b) de la partie B sans problème. J'ai déjà vu cet exercice sur le forum de traité mais je ne comprends pas comment determiner la fonction g(x).. (lien de l'exercice sur le forum :https://www.ilemaths.net/sujet-dm-de-math-534912.html

Si quelqu'un pouvait m'eclairer, je lui en serais très reconnaissante ! Merci

Posté par
Priam
re : Logarithmes 24-02-16 à 11:19

B.4) As-tu formé et simplifié la fonction  fp(x) - fm(x) ?

Posté par
lake
re : Logarithmes 24-02-16 à 11:20

Bonjour,

3)b) Soit g définie par g(x)=\ln(1+x)-x sur [0,+\infty[

g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=-\dfrac{x}{1+x}\leq 0 sur [0,+\infty[

donc g est décroissante sur [0,+\infty[

et comme g(0)=0, g(x)\leq 0 sur [0,+\infty[

On a prouvé que pour tout x\geq 0, \ln(1+x)\leq x

do,c avec x=\dfrac{k}{e}, on a f_k(x)\leq \ln\left(1+\dfrac{k}{e}\right)\leq \dfrac{k}{e}

Posté par
eaudouss
re : Logarithmes 24-02-16 à 11:24

Priam @ 24-02-2016 à 11:19

B.4) As-tu formé et simplifié la fonction  fp(x) - fm(x) ?


Je n'ai pas encore regardé cette question pour être franche, je la pensais liée avec la 3/b/

Posté par
eaudouss
re : Logarithmes 24-02-16 à 11:24

lake @ 24-02-2016 à 11:20

Bonjour,

3)b) Soit g définie par g(x)=\ln(1+x)-x sur [0,+\infty[

g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1=-\dfrac{x}{1+x}\leq 0 sur [0,+\infty[

donc g est décroissante sur [0,+\infty[

et comme g(0)=0, g(x)\leq 0 sur [0,+\infty[

On a prouvé que pour tout x\geq 0, \ln(1+x)\leq x

do,c avec x=\dfrac{k}{e}, on a f_k(x)\leq \ln\left(1+\dfrac{k}{e}\right)\leq \dfrac{k}{e}



Merci de votre réponse ! Pouvez vous m'expliquer comment vous avez trouvé g(x) svp ?

Posté par
lake
re : Logarithmes 24-02-16 à 13:20

Il ne s' agit pas de "trouver"

Il s' agit de montrer que pour tout k\geq 0:

   \ln\left(1+\dfrac{k}{e}\right)\leq \dfrac{k}{e}

Or il se trouve que pour tout x\geq 0 (d' ailleurs même pour tout x>-1):

  \ln(1+x)\leq x

Il est donc naturel pour le prouver d' utiliser la fonction différence g(x)=\ln(1+x)-x et de montrer qu' elle est négative sur [0,+\infty[ en étudiant ses variations.

Puis de particulariser avec x=\dfrac{k}{e}

Posté par
eaudouss
re : Logarithmes 24-02-16 à 15:36

lake @ 24-02-2016 à 13:20

Il ne s' agit pas de "trouver"

Il s' agit de montrer que pour tout k\geq 0:

   \ln\left(1+\dfrac{k}{e}\right)\leq \dfrac{k}{e}

Or il se trouve que pour tout x\geq 0 (d' ailleurs même pour tout x>-1):

  \ln(1+x)\leq x

Il est donc naturel pour le prouver d' utiliser la fonction différence g(x)=\ln(1+x)-x et de montrer qu' elle est négative sur [0,+\infty[ en étudiant ses variations.

Puis de particulariser avec x=\dfrac{k}{e}



D'accord! J'ai compris! Merci beaucoup!

Posté par
lake
re : Logarithmes 24-02-16 à 15:41



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !