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Logique-Derivée

Posté par
Eva225
11-09-21 à 17:35

Bonjour,
Je n'arrive pas à réaliser cet exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît.
Voici le sujet:

A/Pour chacune des propositions ci-dessous dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.
1) Pour tout réel x, e^x2=(e^x)^2
2) il existe un réel x tel que e^3x-4+5=0
3) L'ensemble des solutions dans R de l'inéquation -2xe^-x+1> (ou) = 0 est ]-~;0]

B/ Écrire la négation de la proposition:
« Il existe un réel X telles que e^3x-4+5=0 »
Cette négation est-elle une proposition vraie ou fausse? Justifier brièvement

Voilà. Je ne sais pas par où commencer et comment justifier les propositions. Pouvez-vous me guider?

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 17:44

Bonjour

Il manque des parenthèses

1)  pour tout réel x, \ \text{e}^{x^2} est ce cela ou  \text{e}^{2x}

2) je suppose \text{e}^{3x-4}+5=0

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 17:51

Bonjour,

1) c'est bien la première expression que vous avez écrite

2) oui c'est bien ça

Merci

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 17:57

Bien

À quoi correspond  (\text{e}^x)^2 ?

rappel (a^n)^p=a^{np}

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 18:33

Cela correspond à une formule de calcul sur les puissances.
Donc cette affirmation est fausse car
e^x*2=(e^x)^2

Et non

e^x^2=(e^x)^2


Est ce que m'a justification est claire ? Où il faudrait la rédiger autrement ?

Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 18:57

Pas trop, car il manque des parenthèses

on a  (\text{e}^x)^2= \text{e}^{2x}=\text{e}^x\times \text{e}^x} qui est différent de \text{e}^{(x^2)}

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 19:35

Très bien, c'est corrigé !!
Comment je dois procéder pour la 2 ? Et la 3?

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 19:45

une petite indication en attendant hekla

2) à ton avis la somme de deux nombres positifs peut-elle être nulle ?
(une exponentielle est toujours positive)

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 20:31

Ahh oui c'est vrai je n'y avais pas pensé !! Donc la proposition est fausse puisque la somme de deux nombres positifs ne peut pas être nul, étant donné qu'une exponentielle est toujours positif.
Cependant, je ne trouve toujours pas la n*3...pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 11-09-21 à 20:35

Pour la 3 a-t-on

-2x\text{e}^{-x+1}\geqslant 0 ?

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 12-09-21 à 01:54

Alors pour la A / 3) j'ai trouvé :

La proposition « L'ensemble des solutions dans R de l'inéquation -2xe^-x+1>=0 est ]-~;0] » est vrai (puis j'ai justifié)

Pour la B/ j'ai répondu :
La négation de la proposition « il existe un réel x Tel que e^3x-4  +5=0 » est : « il n'existe aucun réel x tel que e^3x-4  +5=0 »

Cependant je n'arrive pas à savoir si elle est vraie ou fausse et comment puis-je la justifier ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Logique-Derivée 12-09-21 à 09:57

Bonjour,
Une remarque en passant :
Je pense qu'il faut exhiber un contre exemple pour justifier la réponse de 1).
L'égalité est vérifiée pour x = 0 ou 2.
x = 1 me semble un contre exemple sympathique.

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 12-09-21 à 10:12

Bonjour

Pour la 1 l'usage du contre-exemple est plus pertinent

pour la 3)  vraie ;  pour tout x\in \R,\  \text{e}^{-3x+1}>0
c'est donc du signe de -2x

B Pour tout x\in \R,\  \text{e}^{3x-4}+5\not=0

Si la proposition est fausse, la négation de la proposition est vraie : principe du tiers exclu

Posté par
Eva225
re : Logique-Derivée 12-09-21 à 13:38

D'accord, mais je ne comprends pas la 1) elle est vrai ou fausse ?et comment je dois justifier ?

Posté par
hekla
re : Logique-Derivée 12-09-21 à 13:47

Dans deux cas particuliers la proposition est vraie  comme on demande pour tout x  elle est fausse.
Pour cela on va exhiber un exemple pour lequel la proposition est fausse

par exemple x= 1 \quad \text{e}^{(1^2)}= \text{e}

(\text{e}^1)^2=\text{e}^2 ce qui est différent

C'est plus évident de trouver un contre-exemple que la démonstration hier 18 57



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