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Loi Binomiale

Posté par
456DEF
27-12-20 à 10:49

Bonjour, j'ai un DM à faire sur le schéma de Bernoulli et la loi Binomiale.
Pouvez vous me dire si les 3 premières questions sont justes mais surtout m'aider pour la 4-ième question car je n'arrive pas à la finir.

Enoncé :
Une entreprise conditionne des pares de chaussettes par lots de 10 paires. On considère que le stock est suffisamment important pour assimiler les 10 paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs et avec remise.
On considère que 3,5%  des paires de chaussettes ont un défaut.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de paires de chaussettes qui présentent un défaut ans un lot de 10 paires.

Question + réponse :
1) Justifier que la variable X suit une loi binomiale dont on précisera ses paramètres.
Faire des lots de 10 paires de chaussettes revient à interpréter 10 fois de manières indépendantes et identiques une épreuve de Bernoulli. L'événement succès est " les paires de chaussettes présentent un défaut" avec p=0,035
Cette situation se modélise donc par un schéma de Bernoulli de paramètre n=10 et p=0,035
X est la variable aléatoire comptant le nombre de paires de chaussettes qui ont un défaut. Donc X suit une loi binomiale de paramètre n=10 et p=0,035

On arrondira les probabilités suivantes au millième près.
2) Calculer la probabilité que 2 paires de chaussettes exactement d'un lot présentent un défaut.
Il s'agit de calculer P(X=2)
P(X=2)=\begin{pmatrix}10 \\ 2 \end{pmatrix}*0,035^{2}*(1-0,035)^{10-2}=0,041

3) Calculer la probabilité qu'au moins deux paires de chaussettes d'un lot présentent un défaut.
Il s'agit de calculer P(X2)
P(X2)= 1-P(X1)=0,046


4) On considère un lot de n paires de chaussettes (n1). Déterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité qu'au moins une paire de chaussettes présente un défaut soit supérieure ou égale à 0,99.
Faire des lots de n paires de chaussettes revient à interpréter n fois de manières indépendantes et identiques une épreuve de Bernoulli. L'événement succès est " les paires de chaussettes présentent un défaut" avec p=0,035
Cette situation se modélise donc par un schéma de Bernoulli de paramètre n=n et p=0,035
X est la variable aléatoire comptant le nombre de paires de chaussettes qui ont un défaut. Donc X suit une loi binomiale de paramètre n=n et p=0,035

On cherche n tel que P(X1)0,99
Soit 1-P(X=0)0,99P(X=0)0,01
Or P(X=0)=\begin{pmatrix}n \\ 0 \end{pmatrix}*0,035^{0}*0,965^{n}=0,965^{n}
P(X=0)0,010,965n0,01
Après je ne sais pas comment finir


J'espère que vous allez pouvoir m'aider, merci d'avance

Posté par
Yzz
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 10:53

Salut,

Tout va bien.
Pour la dernière question : cette inéquation se résout à l'aide de la fonction logarithme népérien.
Tu ne l'as probablement pas encore vue : dans ce cas, fais une table de valeurs à la calculatrice, en programmant f(x) = 0,965x , début table : 0 et pas : 1.

Posté par
456DEF
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 11:13

Je l'ai vu : ln(0,965n)ln(0,01)
n*ln(0,965)ln(0,01)
n\frac{ln(0,01)}{ln(0,965)}\approx 129,260
je laisse la valeur comme ça où je l'arrondie

Posté par
Yzz
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 11:53

n est un nombre de paires de chaussettes...

Posté par
456DEF
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 12:37

Donc 130

Posté par
Yzz
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 12:38

Donc à partir de 130 paires.
Oui !

Posté par
456DEF
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 12:47

Merci beaucoup pour votre aide à bientôt et passez de bonne fête

Posté par
Yzz
re : Loi Binomiale 27-12-20 à 12:50

Tout pareil !  



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