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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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longueur d'une spiral d'archimède

Posté par
fredericg
10-12-20 à 14:56

Bonjour à toutes et tous,

Soit une spirale d'archimède définie par la relation = a.

On s'intéresse à la portion de spirale, portion de longueur L  entre les angles 0 et 1.
Connaissant 0 et L, comment puis-je en déduire  1  ?

      Merci et bonne journée.

         Frédéric

Posté par
GBZM
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:07

Bonjour,

Qu'as tu essayé ? As tu par exemple calculé L en fonction de \theta_0 et \theta_1 ?

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:26

Bonjour, merci pour votre réactivité. En fait je suis allé faire un tour sur plusieurs sites pour savoir comment calculer une telle longueur. La formule que j'ai trouvée sur
https://www.intmath.com/blog/mathematics/length-of-an-archimedean-spiral-6595
est :
L = 0[sub]1[/sub] (r2 + (dr/d)2) d
et lorsque j'essaie de faire le calcul en découpant mon intégrale en deux parties (r2 ) d'un côté et l'autre membre pour la seconde intégrale, je tombe sur une équation du second degré en 1 dont la résolution me donne une valeur qui n'est pas satisfaisante puisque pour une valeur de L fixe, je devrais avoir une valeur de 1 - 0 d'autant plus faible que la valeur de 0 est importante, comme on peut le voir sur l'image jointe.
J'en viens à me demander si la formule intégrale que j'utilise est la bonne.
Merci. Frédéric

longueur d\'une spiral d\'archimède

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:30

Désolé, je viens de m'apercevoir en relisant que j'ai fait n'importe quoi... Ceci étant, je cherche toujours la réponse... comment calculer 1 connaissant L et 0.
Frédéric

Posté par
GBZM
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:41

Ce qu'on a, c'est L en fonction de \theta_0 et de  \theta_1 (en calculant correctement l'intégrale). Une fois ceci établi, on peut chercher à en tirer \theta_1 en fonction de \theta_0 et L, mais c'est une autre paire de manches.

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:45

Effectivement. Je continue de travailler dessus. Je posterai la réponse lorsque je l'aurai trouvée, parce qu'il me la faut ! Merci encore et bonne journée. Frédéric

Posté par
GBZM
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 15:49

Peux-tu expliquer pourquoi tu as besoin de cette réponse ?

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:13

C'est un peu long mais si tu as le temps... je suis chercheur en informatique et je travaille sur les drones. Je veux que mon drone se déplace selon une spirale d'Archimède. Avant de programmer cette machine, je veux vérifier un certain nombre de propriétés par simulation. Lors de cette simulation j'ai besoin d'imposer la vitesse de mon drone, une vitesse linéaire constante et non pas une vitesse angulaire constante. Voilà la raison.
Frédéric

Posté par
GBZM
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:19

Merci.

Je crois que tu peux faire ton deuil d'une belle formule avec des fonctions usuelles.

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:23

Bon j'ai pas mal avancé, j'en suis arrivé à l'intégrale suivante :
L = (1+2)d

Posté par
GBZM
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:37

Pas de problème pour le calcul de la longueur d'arc en fonction de \theta_0 et \theta_1.
Mais pour avoir \theta_1 en fonction de la longueur et de theta_0 ... tu devras te rabatte sur une résolution numérique.

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:43

La primitive de (1+x2) est  (selon http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Analyse/Primitiv/PrimR2X2.htm):
/2 (1+2) + 1/2 ln(+(1+2)
à partir de là je devrais pouvoir calculer L en fonction de 0 et 1 (ou bien j'ai raté une étape ?)

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 16:58

Tu as raison... l'expression ne me permet pas d'isoler "proprement" 1, il va falloir que je fasse des approximations parce que cet angle doit être calculé à chaque déplacement de mon drone. Pour info, voici la formule finale en image...

longueur d\'une spiral d\'archimède

Posté par
fredericg
re : longueur d'une spiral d'archimède 10-12-20 à 17:00

Merci pour ton temps GBZM et bonne soirée. Pour info, ma tête ressemble davantage à ton icône (barbe mise à part) qu'à la mienne

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