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longueur de module
Bonjour, je ne vois pas trop comment résoudre ce problème.
Soient M un A-module et N un sous-module de M.
On suppose que M et M/N sont de longueurs finies.
Montrer que M est aussi de longueur finie en vérifiant l'inégalité suivante :
,
où l(M) désigne la longueur du module M.
Salut Cauchy,
Alors d abord utilisation de ce lemme :
Soient A un anneau et M un A-module, et N des sous-modules de M tels que
et
alors .
(plus facile à montrer)
Soit (où chaque inclusion est stricte) une chaine de sous-module de M de longueur a.
Par le lemme précédent, on a pour tout i au moins une des deux inclusions suivantes qui est stricte :
et
.
Si c'est la premiere inégalité qui est stricte, on construit une suite de sous-modules de N, .
Si c'est la seconde inégalité qui est stricte, on construit une suite de sous-modules de M/N, .
Donc la somme des longueurs de ces deux suites est au moins égale à 'a', puisqu'on a 'a' crans.
Si ces deux inclusions sont strictes, ça fera plus que 'a'.
Donc pour tout a,
et l(M) est par défintion la borne supérieure sur les 'a'.
D'où .
Il me semble que c'est bon.
Bonjour à tous les deux
J'ai attendu la solution de romu avant de m'incruster.
Voici une solution un peu différente.
Considérer une suite croissante
N
M0...M_a et quotienter le tout par N.
Alors a
l(M/N) et en casant une suite dans N, on voit que l(M)l(N)+l(M/N)
Ceci évite le lemme, mais celui-ci est intéressant par lui même.
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