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Maillage de Z^2 par triangle

Posté par
kangarsta
09-08-21 à 19:11

Bonjour,
Dans ce qui suit triangles / polynomes sont non plats.

Je souhaite montrer que si (x,y) appartient à Z^2, alors il existe (m,n) dans Z^2 tq (x,y) = na = mb (avec a,b dans Z^2 tq a = (xa,ya) et b = (xb, yb).
D'après l'énoncé (et je l'ai montré), a et b sont les sommets d'un triangle T = ( (0,0) a b) qui n'a de points entiers (i.e de coordonnées (x,y) dans Z^2) seulement (0,0)  a et b.
Le polygones ( (0,0) a b a+b) vérifie de meme avec (0,0)  a et b a+b (question b).

Pour la a) c'est une question de symétrie.
Pour la b), on invoque a) pour l'intérieur de P et  une translation de l'origine de a+b en remarquant que T' = (a b a+b) est en fait -T translaté de a+b et comme T n'intersecte aucun point entier, -T non plus puis -T + (a + b) non plus.

Mais la c), aucune idée. Je vois bien l'idée générale : montrer que mon triangle peut créer un maillage de tout l'espace (en fait, on "génère" Z^2 avec (a,b) ) et les divisions euclidiennes me permettent de me rapprocher ( procéder par itération ?) suffisamment de (x,y) pour que le point soit inclus dans mon triangle (et par translation de l'origine, conclure avec question b) )

Maillage de Z^2 par triangle

Posté par
verdurin
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 19:48

Bonsoir,
il me semble que la propriété (a) est fausse.
On peut le voir en prenant a=(1 ; 0) et b=(-1 ; 2).
L'intérieur de T ne contient pas de point à coordonnées entières mais l'intérieur de P contient le point (0;1).

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 20:18

Bonsoir,

Effectivement, très bizarre cette histoire... peut être une hypothèse qui manque (je crois que c'est tiré d'une ADS X-ENS)

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 20:47

Bonsoir,

La propriété a) est tout à fait exacte : si l'intérieur de T contient un point à coordonnées entières, l'intérieur de P aussi.
Il ne faut pas faire dire à l'énoncé autre chose que ce qu'il dit.

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 20:50

Par contre, il montre une hypothèse à l'énoncé : que a et b ne sont pas colinéaires, autrement dit qu'ils forment une base de \R^2. Et ça peut être utile de décomposer dans cette base pour la question c).

Posté par
verdurin
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 20:58

Salut GBZM.
L'énoncé dit que si l'intérieur de P contient un point à coordonnées entières alors l'intérieur de T aussi.
Il faut lire les énoncés.

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 21:27

Bonsoir,

Peut être que l'on considère seulement P int privé de T ou que l'on suppose que
Dans la suite, de toute façon c'est vérifié étant donné que si un point de P int n'était pas dans T int il serait sur le segment AB et différent de a et b, absurde.

Si on peut ignorer cette coquille (qui sera corrigée, j'en ai fait part à mon enseignant),est-ce que vous avez la moindre indication sur la c)  ?

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 21:33

GBZM @ 09-08-2021 à 20:50

Par contre, il montre une hypothèse à l'énoncé : que a et b ne sont pas colinéaires, autrement dit qu'ils forment une base de \R^2. Et ça peut être utile de décomposer dans cette base pour la question c).


Désolé du double post mais les triangles étant supposés non plats et l'origine du plan étant l'un des sommets, a et b ne sont pas colinéaires (j'ai précisé cela en début de post).

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 09-08-21 à 23:58

Oui, verdurin, tu as raison. Le a) de l'énoncé est bien fautif

kangarsta, je t'ai déjà donné une indication : décomposer (x,y) dans la base de \R^2 fournie par a et b. Puisque tu n'as pas mordu à cette indication, un petit coup de pouce supplémentaire : faire intervenir les parties entières des coordonnées dans cette base.

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 08:58

Bonjour,
Effectivement je n'avais pas vu la petite indication. En fait j'ai déjà exploré cette piste  mais je n'arrive aucunement à en déduire à partir des parties entières inférieures et supérieures que un dès polygones contient le point.
J'effectue une rotation de l'espace pour avoir (x,y) positif (c'est symétrique).
(a,b) libre dans R^2 donc base et on se donne une décomposition de (x,y) dans R^2.
On se munit des parties entières inférieures et supérieures des coordonnées de (x,y).

Ça jusque là je l'avais vu, mais qu'est-ce qui m'assure que sur une des coordonnées entières possibles mon polygone contient le point ? Une histoire de recouvrement ?

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 09:37

Bon, un autre coup de pouce.

Que dis-tu d'un point \alpha a+\beta b avec 0\leq \alpha<1 et 0\leq \beta<1 ?

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 09:40

Au fait, ton concept de "partie entière supérieure" me laisse perplexe. Un réel r a une seule partie entière, le plus grand entier relatif n tel que n\leq x ; x-n est alors la partie fractionnaire de r, c'est un réel supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à 1.

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 09:47

Merci pour l'indication je regarde ça. Pour la partie entiere supérieure je parle simplement de l'entier supérieur. Juste un abus de langage (pas rigoureux je le concède).

Posté par
kangarsta
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 12:19

Bonjour,
Avec une translation de l'origine et l'indication, j'ai effectivement loupé un barycentre bien pratique !
Merci

Posté par
GBZM
re : Maillage de Z^2 par triangle 10-08-21 à 12:50

Avec plaisir.

Pour le a), un formulation possible serait : "Montrer que si P contient un point entier autre que 0,a,b,a+b, alors T contient un point entier autre que 0,a,b.



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