Bonjour !
Pour moi, , produit scalaire canonique !
Une rectification d'énoncé s'impose.

Bonjour,
je vais supposer que le nouveau produit scalaire est définie par .
Ainsi la matrice de passage que tu donnes est exacte.

Les vecteurs de base de C' ont pour coordonnées dans la base C les colonnes de

qui est la matrice de passage de C à C'.

Soit f l'endomorphisme associé à la matrice A dans la base C'

Si tu veux la matrice de f dans la base C elle est égale à


C'est bien la matrice d'une rotation d'angle mais son axe n'est pas  un des axes de coordonnées.

Bonjour verdurin,
et merci pour ta réponse.
La matrice que tu énonces est pour moi celle de C-> C''. Ce que je veux moi, c'est la matrice de A dans la base C'. Du coup, je me demande si la première colonne de ma matrice de rotation P (de C''->C') doit être le vecteur directeur de l'axe de rotation, qui en effet n'est pas un vecteur de ma base, mais le vecteur ?
@lucaz j'ai vérifié auprès du prof, ce n'est pas une erreur d'énoncé, c'est la difficulté de l'exercice.
Merci pour votre aide.

Quelle est la définition de la base C' ?

C est la base canonique
C'' la base orthonormée trouvée à partir de la base canonique
C' est celle que je dois trouver grâce à la matrice de rotation qui transforme la base orthonormée C'' en C'

La matrice qui transforme la base orthonormée ( pour le produit scalaire canonique ) C en base orthonormée C'' ( pour l'autre produit scalaire ) est celle que j'ai appelé P.

Tu cherches une autre base orthonormée C'.
Pour quel produit scalaire  est-elle orthonormée ?

Qui qu'il en soit, tu peux calculer qui est la matrice d'une rotation d'angle dans la base C et chercher son axe.
Puis trouver une base C* orthonormée pour le produit scalaire canonique dans le quel cet axe est dirigé par le premier vecteur de base.

Avec le produit scalaire de l'énoncé, la base canonique n'est pas orthonormée. C'est pourquoi je l'ai transformé par la matrice de passage que tu as appelé P en base C'' orthonormée par le produit scalaire de l'énoncé.
A partir de cette base C'', j'ai calculé une matrice de rotation qui est donc (si j'ai bien compris) aussi une matrice de passage de ma base C'' vers une autre base que mon énoncé appelle C'. En multipliant ces deux matrices de passage, je suis censé trouver la matrice de passage Q de C -> C'. C'est cette matrice Q qui devrait me permettre de trouver la matrice de A dans la base C' en utilisant la formule .
Cette matrice D devrait être orthogonale, mais elle ne l'est pas, c'est pour cela que je recherche quelle erreur j'ai bien pu faire sur mes matrices de passage de C-> C'' et de C'' -> C'.
Est-ce que tu vois mon erreur :


Je connais déjà mon axe de rotation dans la base C c'est le vecteur
Merci de ton aide.

Bonjour

Non, la difficulté de l'exercice consiste à utiliser un autre produit scalaire (cf. mon 1er post) que le produit scalaire canonique, et donc où la base canonique n'est pas orthonormée.

mais bonté divine, tu vas te décider à le relire et à le corriger, ton premier post ?

Erreur de ma part, le produit scalaire est celui-ci :
Je tourne tellement en rond sur cet exercice depuis des jours que je ne vois plus rien

Je ne sais pas comment corriger mon 1er post...

je le trouve tout sauf clair, ton premier post
tu ferais mieux de recopier l'énoncé d'origine au mot près, sans en changer une virgule ....

on ne peut pas corriger un post, tout ce que tu peux faire, c'est donner maintenant en répondant à ce message ton énoncé exact

Bonsoir,

Déjà vu : Cf. ceci

Le voici : L'espace est muni du produit scalaire (non canonique)
On nous donne une matrice A non orthogonale
qui est la matrice d'une isométrie dans la base canonique.

1)Montrer que c'est la matrice d'une rotation :
J'ai trouvé qu'elle est la matrice d'une rotation d'angle et d'axe

2) Trouver une base orthonormée C' en utilisant une matrice de passage de C vers C' (nouvelle base).
J'ai commencé par trouver une base orthonormée C'' à partir de C avec la matrice de passage
Puis, j'ai utilisé la matrice de rotation entre la base C'' (base C que j'ai normée) et C'
J'ai fait le produit des deux pour avoir la matrice de passage de C à C', et j'obtiens

3) Montrer que A est bien une isométrie.
Il faut en fait montrer que la matrice de cette isométrie dans la nouvelle base orthonormée C' est orthogonale.
Mais:
- Quand je prends 2 vecteurs orthogonaux par le produit scalaire  X et X' et que je  multiplie ma matrice Q par eux, mes nouveaux vecteurs ne sont pas orthogonaux par mon produit scalaire. De même, quand je transforme la matrice A dans la nouvelle base en faisant AQ, elle n'est pas orthogonale (alors qu'elle le devrait) Je suppose donc que j'ai une erreur sur mes matrices de passage citées ci-dessus Est-ce le cas?

Merci d'avance pour le coup de main.

je ne comprends rien à ce que tu as fait dans la question 2 ? quel intérêt de donner deux bases orthonormées C" et C' là où on ne t'en demande qu'une ?
ça n'aurait pas été aussi simple d'appliquer le procédé de Gram Schmidt à la base canonique, pour obtenir C' ?

@ThierryPoma : Merci, j'ai déjà trouvé les réponses aux questions résolues dans ce post. Je pense qu'il y a une erreur dans mon raisonnement et j'aimerais comprendre laquelle (d'autant que j'aime bien ce cours).

@lafol.
J'ai appliqué Graam Schmidt pour obtenir C''... NON ! Tu veux dire que depuis 8 jours je cherche à utiliser la matrice de rotation alors que cela ne sert à rien ?!!!
Je ne peux pas croire que ce soit aussi simple.

j'ai bien peur qu'en effet tu ne te sois compliqué la vie pour rien

Ça marche, je n'en reviens pas. Merci de m'avoir débloquée.

J'ai une dernière question : On me demande quelles sont les conditions sur une matrice pour qu'il existe un produit scalaire telle qu'elle soit une rotation.
Est-ce que c'est là qu'intervient ma matrice de rotation?

Et question subsidaire, pourquoi ma matrice A dans la base C' orthonormée n'a pas pour inverse sa transposée? (j'ai essayer de faire mon calcul tA.A et je n'obtiens pas l'identité.

... mais ma nouvelle matrice A dans C' multipliée par son inverse (qui apparemment n'est pas sa transposée) me donne l'identité.

GaBuZoMeu t'a déjà répondu ici . N'aurais-tu rien compris ?

@ThierryPoma : ce n'est pas la question que je pose.
Je ne parle pas de la matrice A dans la base canonique, mais de la matrice A dans la base orthonormée C'.

@verdurin c'est vrai A.A-1=Id, je commence à fatiguer.

Appelons B la matrice A dans la base orthonormée C'
Je dois montrer qu'elle est bien une isométrie dans cette nouvelle base (c'est la question de l'énoncé) et donc que tA.A = Id
Mais cela ne fonctionne pas.

Pour ce produit scalaire

lilith30 @ 19-04-2018 à 21:01

Erreur de ma part, le produit scalaire est celui-ci :

oui désolée c'est ça : je veux monter que tB.B = Id

Si tu veux utiliser la transposée, il faut tenir compte du produit scalaire.

Dans la base C'' on obtient le produit scalaire de deux vecteurs u et v exprimés dans la base canonique en calculant

Est-ce que je dois transformée la matrice du produit scalaire pour l'avoir dans la base C' orthonormée?

Bonjour
Bon, j'ai refait tous les calculs ce matin après mes deux cafés matinaux.
Alors pour résumer, oui, on trouve simplement la base orthonormée en normant la base C.
Ensuite on transforme la matrice de l'isométrie B = P-1 A P
et ... tB.B = Id (comme quoi, il vaut mieux éviter les calculs après 22h).
Merci lafol et verdurin pour avoir pris le temps de me répondre

Il me reste ma dernière question : On me demande quelles sont les conditions sur une matrice pour qu'il existe un produit scalaire telle qu'elle soit une rotation.
Est-ce que c'est là qu'intervient ma matrice de rotation?

Bonne journée.

tu as une piste : ta matrice A était une matrice de rotation
tu as vu qu'elle était semblable à B ....

Bonjour,
merci de ta réponse. J'ai noté que tr(A) = tr(B) = 2 et j'ai suivi cette piste. J'ai vu que c'était une condition nécessaire mais pas une condition suffisante. Et je ne vois pas non plus le rapport avec un produit scalaire quelconque.

J'ai exploré d'autre piste : Pour J la matrice du produit scalaire,
1) tAJA = J (conservation des normes <f(x), f(x)> = <x,x>)
2) 2JA = J (définition du cos de l'angle de rotation cos Pi/3 = <f(x), x>/||f(x)||.||x||

Bonsoir,
Si il existe un produit scalaire tel que la matrice A soit une rotation r d'angle pour R³ muni de ce produit scalaire alors il existe une base orthonormée pour dans la quelle la matrice de r est


On en déduit qu'une condition nécessaire pour que A soit la matrice d'une rotation pour un certain produit scalaire est qu'elle soit semblable à B.
C'est à dire qu'il existe une matrice P tel que .

Il est assez facile de voir que cette condition est suffisante.