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Majoration du cardinal du centre d'un groupe non commutatif
Bonjour, je m'intéresse à l'exercice suivant:
Soit un groupe non-commutatif de cardinal
. Montrer que
Je me suis donc intéressé au rapport des cardinaux de
et de son centre.
étant un sous-groupe de
,
est un entier non nul d'après le théorème de Lagrange.
car G n'est pas abélien.
Si , je me donne
.
(car
est une bijection, donc
, et
) ce qui est absurde car alors G est abélien.
C'est pour le cas que je suis bloqué. J'ai essayé de raisonner de la même manière que pour le cas
.
Si , je me donne
et j'essaie de prouver cette fois que
et
forment une partition de
. Les 3 sont de même cardinaux (
et
) mais je ne parviens pas à montrer qu'ils sont disjoints 2 à 2 (l'intersection qui me pose problème est celle entre
et
. En fait , ça marcherait si
était un élément du centre, mais rien ne l'y oblige.
Pouvez-vous m'aider?
salut
je ne pense pas que tu aies pris la bonne direction ...
Z(G) contient le neutre e de G bien sûr
G n'est pas abélien donc il existe au moins un y dans G - Z(G) et un x dans G tel que
pour tout a dans Z(G) : ax = xa et ay = ya donc axy = xya et ayx = yxa
mais
et en considérant les inverses alors à chaque fois que je me donne un couple (x, y) tels que et un élément a de Z(G) je peux trouver quatre couples (u, v) tels que
peut-être l'idée est ainsi ... mais c'est peut-être mal formulé ...
pour le dire peut-être un peu mieux ...
si x et y ne commutent pas (*) alors les sous-groupes <x> et <y> sont constitués d'éléments ne commutant pas ...
et ces sous-groupes contiennent au moins deux éléments : eux et leur inverses ...
en remarquant que si alors
donc est contradictoire avec (*)
Bonjour,
Plutôt que de considérer , il vaut mieux s'intéresser à
.
On peut montrer que si n'est pas abélien, alors
n'est pas monogène
carpediem je ne vois pas comment aller plus loin avec ce que tu proposes...
GBZM Malheureusement mes connaissances sur les groupes quotients sont très limitées (ils sont à peine évoqués dans mon cours, car hors programmes en MP). En fait, dans le cas qui me pose problème, le groupe quotient c'est, avec les notations que j'ai introduit,
(enfin leurs classes d'équivalence respectives), ce qui résout mon problème puisque alors j'ai bien
Du coup mon problème c'est juste de le montrer sans faire appel aux groupe quotient
Je t'ai suggéré de démontrer que n'appartient pas à
.
Indication puisque tu as l'air coincé : si c'était le cas, serait un sous-groupe de
.
Je trouve un peu dommage que l'on se prive du groupe quotient. L'argument devient beaucoup plus clair quand on pense justement en termes de groupe quotient !
Bref, étudier les groupes en général en ne parlant pas du quotient par un sous-groupe distingué, c'est à mon sens une idiotie.
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