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Math Spé : Exercice
Bonjour, j'écris pour avoir si possible la solution d'une question de Mathématiques spé que je ne parvient pas à résoudre.
Il sagit de :
a et b sont deux entiers naturels et ont six diviseurs communs. Trouvez tous les couples (a,b) tel que a+b=162 .
J'ai tenté avec le théorème de Gauss, mais je n'ai pas trouvé.
Eclairez moi Svp.
Bonjour,
Voici une idée qui ne repose sur aucune théorie.
Elle vaut ce qu'elle vaut.
si a et b ont pour facteurs k1 et k2 communs alors il y a
1,k1,k2,k1.k2 comme diviseurs communs (4)
Si on ajoute un facteur supplémentaire k3 alors on aura
1,k1,k2,k3,k1.k2,k1.k3,k2,k3 (8 diviseurs communs)
Donc les nombres a et b ont comme facteurs communs:
1,k1,k2,k1.k2,k1²,k1².k2 soit 6 diviseurs communs.
a=k1².k2.x
b=k1².k2.y
avec x et y premiers entre eux.
Comme 162=2.3^4=2.3².9
On a:
a=2.3².x
b=2.3².y
avec x+y=9
donc les couples (x,y) sont
(1,8), (2,7), (4,5)
pas (3,6)
J'espère ne pas avoir dit trop de conneries !
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