Bonjour,

Ce sont des congruences, il est équivalent de dire:
A 0 (7)
A est divible par 7
A est un multiple de 7

bonjour

donc il est équivalent de dire aussi que: B0(7) et C0(7)
et donc AB(7) et BC(7) ainsi AC(7)
donc a³b³ b³c³ et donc a³c³

donc a^3+b^3+c^3 0(7)

et donc abc0(7)

est ce que c'est bien démontrer?

merci

Bonjour,

C'est inexact, la A que j'avais pris était pour l'exemple seulement, tu ne peux rien en déduire dans ce cas particulier.
Voici une démonstration par contraposée : je vais montrer que si abc n'est pas divisible par 7, alors a^3 + b^3 + c^3 n'est pas divisible par 7
7 étant premier, si abc n'est pas divisible par 7, ni a, ni b, ni c ne sont divisible par 7
donc il existe 6 constantes p, q, r, s, t, u, telles que
a = 7p+q
b = 7r+s
c = 7t+u
q est le reste de la division euclidienne de a par 7, et il est non nul, de même que s et u :
1 q, s, u 6
On a alors :
a^3 + b^3 + c^3 = (7p+q)^3 + (7r+s)^3 + (7t+u)^3
On développe à droite, et il n'y a pas besoin de faire le développement complet, seulement de regrouper mentalement tous les termes ayant 7 en facteur, et les autres.
Il existe un certain d entier tel que :
a^3 + b^3 + c^3 = 7d + q^3 + s^3 + u^3
donc a^3 + b^3 + c^3 est divisible par 7 si et seulement si q^3 + s^3 + u^3 est divisible par 7
Or on a 1 q, s, u 6
Les valeurs que peuvent prendre q^3 + s^3 + u^3 sont donc :
q = s = u = 1 : q^3 + s^3 + u^3 = 3
Dès qu'un des termes q, s, u est 2, alors q^3 + s^3 + u^3 est 2^3 + 1 + 1 = 10
donc q^3 + s^3 + u^3 n'est jamais divisible par 7, ce qui termine la démonstration
  

bonsoir,

merci de m'avoir aidé

mais il y a un point à la fin que je ne comprend pas pourquoi q=s=u=1 q,s et u sont compris entre 1 et 6 donc q,s et u peuvent prendre aussi la valeur de 2,3,4,5 et 6?

Citation :
q = s = u = 1 : q^3 + s^3 + u^3 = 3
Dès qu'un des termes q, s, u est 2, alors q^3 + s^3 + u^3 est 2^3 + 1 + 1 = 10

Tu as raison, mon raisonnement est inexact :
q, s, u peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et 6.
En fait, il faut tester toutes les valeurs possibles de q^3 + s^3 + u^3 pour toutes les valeurs possibles de q, s, u entre 1 et 6, soit (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), ...(6,6,6), et démontrer qu'aucune de ces valeurs n'est divisible par 7. A la main, c'est assez affreux, mais un petit programme sur calculatrice le fait très bien. Sous sa forme la plus grossière, ça donne :

for q = 1 to 6
for s = 1 to 6
for u = 1 to 6
a = q^3 + s^3 + u^3
b = a/7
print q, s, u, a, b
next u
next s
next q

Et j'imprime les résultats, tu vois en dernière colonne que q^3 + s^3 + u^3 n'est jamais divisible par 7.

q             s             u       q^3 + s^3 + u^3  (q^3 + s^3 + u^3)/7

1             1             1             3             0.42857143
1             1             2             10            1.42857143
1             1             3             29            4.14285714
1             1             4             66            9.42857143
1             1             5             127           18.1428571
1             1             6             218           31.1428571
1             2             1             10            1.42857143
1             2             2             17            2.42857143
1             2             3             36            5.14285714
1             2             4             73            10.4285714
1             2             5             134           19.1428571
1             2             6             225           32.1428571
1             3             1             29            4.14285714
1             3             2             36            5.14285714
1             3             3             55            7.85714286
1             3             4             92            13.1428571
1             3             5             153           21.8571429
1             3             6             244           34.8571429
1             4             1             66            9.42857143
1             4             2             73            10.4285714
1             4             3             92            13.1428571
1             4             4             129           18.4285714
1             4             5             190           27.1428571
1             4             6             281           40.1428571
1             5             1             127           18.1428571
1             5             2             134           19.1428571
1             5             3             153           21.8571429
1             5             4             190           27.1428571
1             5             5             251           35.8571429
1             5             6             342           48.8571429
1             6             1             218           31.1428571
1             6             2             225           32.1428571
1             6             3             244           34.8571429
1             6             4             281           40.1428571
1             6             5             342           48.8571429
1             6             6             433           61.8571429
2             1             1             10            1.42857143
2             1             2             17            2.42857143
2             1             3             36            5.14285714
2             1             4             73            10.4285714
2             1             5             134           19.1428571
2             1             6             225           32.1428571
2             2             1             17            2.42857143
2             2             2             24            3.42857143
2             2             3             43            6.14285714
2             2             4             80            11.4285714
2             2             5             141           20.1428571
2             2             6             232           33.1428571
2             3             1             36            5.14285714
2             3             2             43            6.14285714
2             3             3             62            8.85714286
2             3             4             99            14.1428571
2             3             5             160           22.8571429
2             3             6             251           35.8571429
2             4             1             73            10.4285714
2             4             2             80            11.4285714
2             4             3             99            14.1428571
2             4             4             136           19.4285714
2             4             5             197           28.1428571
2             4             6             288           41.1428571
2             5             1             134           19.1428571
2             5             2             141           20.1428571
2             5             3             160           22.8571429
2             5             4             197           28.1428571
2             5             5             258           36.8571429
2             5             6             349           49.8571429
2             6             1             225           32.1428571
2             6             2             232           33.1428571
2             6             3             251           35.8571429
2             6             4             288           41.1428571
2             6             5             349           49.8571429
2             6             6             440           62.8571429
3             1             1             29            4.14285714
3             1             2             36            5.14285714
3             1             3             55            7.85714286
3             1             4             92            13.1428571
3             1             5             153           21.8571429
3             1             6             244           34.8571429
3             2             1             36            5.14285714
3             2             2             43            6.14285714
3             2             3             62            8.85714286
3             2             4             99            14.1428571
3             2             5             160           22.8571429
3             2             6             251           35.8571429
3             3             1             55            7.85714286
3             3             2             62            8.85714286
3             3             3             81            11.5714286
3             3             4             118           16.8571429
3             3             5             179           25.5714286
3             3             6             270           38.5714286
3             4             1             92            13.1428571
3             4             2             99            14.1428571
3             4             3             118           16.8571429
3             4             4             155           22.1428571
3             4             5             216           30.8571429
3             4             6             307           43.8571429
3             5             1             153           21.8571429
3             5             2             160           22.8571429
3             5             3             179           25.5714286
3             5             4             216           30.8571429
3             5             5             277           39.5714286
3             5             6             368           52.5714286
3             6             1             244           34.8571429
3             6             2             251           35.8571429
3             6             3             270           38.5714286
3             6             4             307           43.8571429
3             6             5             368           52.5714286
3             6             6             459           65.5714286
4             1             1             66            9.42857143
4             1             2             73            10.4285714
4             1             3             92            13.1428571
4             1             4             129           18.4285714
4             1             5             190           27.1428571
4             1             6             281           40.1428571
4             2             1             73            10.4285714
4             2             2             80            11.4285714
4             2             3             99            14.1428571
4             2             4             136           19.4285714
4             2             5             197           28.1428571
4             2             6             288           41.1428571
4             3             1             92            13.1428571
4             3             2             99            14.1428571
4             3             3             118           16.8571429
4             3             4             155           22.1428571
4             3             5             216           30.8571429
4             3             6             307           43.8571429
4             4             1             129           18.4285714
4             4             2             136           19.4285714
4             4             3             155           22.1428571
4             4             4             192           27.4285714
4             4             5             253           36.1428571
4             4             6             344           49.1428571
4             5             1             190           27.1428571
4             5             2             197           28.1428571
4             5             3             216           30.8571429
4             5             4             253           36.1428571
4             5             5             314           44.8571429
4             5             6             405           57.8571429
4             6             1             281           40.1428571
4             6             2             288           41.1428571
4             6             3             307           43.8571429
4             6             4             344           49.1428571
4             6             5             405           57.8571429
4             6             6             496           70.8571429
5             1             1             127           18.1428571
5             1             2             134           19.1428571
5             1             3             153           21.8571429
5             1             4             190           27.1428571
5             1             5             251           35.8571429
5             1             6             342           48.8571429
5             2             1             134           19.1428571
5             2             2             141           20.1428571
5             2             3             160           22.8571429
5             2             4             197           28.1428571
5             2             5             258           36.8571429
5             2             6             349           49.8571429
5             3             1             153           21.8571429
5             3             2             160           22.8571429
5             3             3             179           25.5714286
5             3             4             216           30.8571429
5             3             5             277           39.5714286
5             3             6             368           52.5714286
5             4             1             190           27.1428571
5             4             2             197           28.1428571
5             4             3             216           30.8571429
5             4             4             253           36.1428571
5             4             5             314           44.8571429
5             4             6             405           57.8571429
5             5             1             251           35.8571429
5             5             2             258           36.8571429
5             5             3             277           39.5714286
5             5             4             314           44.8571429
5             5             5             375           53.5714286
5             5             6             466           66.5714286
5             6             1             342           48.8571429
5             6             2             349           49.8571429
5             6             3             368           52.5714286
5             6             4             405           57.8571429
5             6             5             466           66.5714286
5             6             6             557           79.5714286
6             1             1             218           31.1428571
6             1             2             225           32.1428571
6             1             3             244           34.8571429
6             1             4             281           40.1428571
6             1             5             342           48.8571429
6             1             6             433           61.8571429
6             2             1             225           32.1428571
6             2             2             232           33.1428571
6             2             3             251           35.8571429
6             2             4             288           41.1428571
6             2             5             349           49.8571429
6             2             6             440           62.8571429
6             3             1             244           34.8571429
6             3             2             251           35.8571429
6             3             3             270           38.5714286
6             3             4             307           43.8571429
6             3             5             368           52.5714286
6             3             6             459           65.5714286
6             4             1             281           40.1428571
6             4             2             288           41.1428571
6             4             3             307           43.8571429
6             4             4             344           49.1428571
6             4             5             405           57.8571429
6             4             6             496           70.8571429
6             5             1             342           48.8571429
6             5             2             349           49.8571429
6             5             3             368           52.5714286
6             5             4             405           57.8571429
6             5             5             466           66.5714286
6             5             6             557           79.5714286
6             6             1             433           61.8571429
6             6             2             440           62.8571429
6             6             3             459           65.5714286
6             6             4             496           70.8571429
6             6             5             557           79.5714286
6             6             6             648           92.5714286

oui en effet c'est jamais divisible par 7

et la liste est très très longue

donc comme on a pris le contraposée, ça signifie que a^3+b^3+c^3=0(7) et donc abc=0(7) ?

merci

Je ne sais pas s'il y a une preuve plus directe...
Ce que ça signifie, c'est :
"abc non divisible par 7" implique "a^3+b^3+c^3 non divisible par 7"
et donc, de façon équivalente :
"a^3+b^3+c^3 divisible par 7" implique "abc divisible par 7"
ou encore, en termes de congruences :
"a^3+b^3+c^3 = 0(7)" implique "abc = 0(7)"

Merci beaucoup de ton aide! =D

Je t'en prie ! Ca m'intéresserait de savoir s'il y a une preuve plus directe que l'énumération brute des cas, si tu as une correction dans ce sens aurais-tu la gentillesse de la poster ?
Merci d'avance,
LeHibou

Bonjour LeHibou

Oui, j'ai une correction de cet exercice, tout d'abord on a établit le tableau des restes [7]
ce qui nous donnait:
a    0 1 2 3 4 5 6
a^3  0 1 1 6 1 6 6

donc si a3[7] alors a^3-1[7]

puis on a fait un arbre qui montre tous les cas des restes des congruences modulo 7
et on a deux cas où a^3+b^3+c^3 =0 [7]
donc ce sont ces deux cas où les 3 nombres a, b et c sont multiples de 7
d'où abc0[7]

voilà
j'espère que j'étais claire dans mon explication

Bonsoir  etudiante49

Merci beaucoup, je suis très sensible au fait que tu te soies souvenu de ma demande, et encore plus au fait que tu aies pris le temps d'y répondre !

Depuis plusieurs années que j'essaye de donner un petit de main sur l'île, j'ai plusieurs fois fait cette demande quand je sentais qu'il devait y avoir mieux que ce que j'avais proposé, et tu es une des rares, sinon la seule à y avoir répondu.

Je te remercie bien sincèrement, et te souhaite un brillant parcours étudiant, quelle que soit la voie dans laquelle tu te dirigeras.

Bien sincèrement,
LeHibou

bonjour

Non je t'en pris, ce n'est rien, je te remercie en tout cas de m'avoir aidé, et d'avoir répondu à mon aide
c'est très gentille

Merci beaucoup!
A bientôt