bonjour dol

écrivez que N=abc(base7)=cba(base11)

est équivalente à :

49a+7b+c=121c+11b+a avec  0<a≤6 0≤b≤6 0<c≤6

48a=120c+4b

12a=30c+b

6(2a-5c)=b

donc 6|b
comme d'autre part 0≤b≤6

donc b=0 ou b=6

1°cas: b=0

donc 2a=5c comme pgcd(2,5)=1 donc 2|c et 5|a

a=5q et c=2q  comme 0<a≤6 et 0<c≤6

donc q=1 donc a=5 et c=2 donc N=502 (base7)=205 (base 11)

2°cas b=6

donc 2a-5c=1  (équation de Besout)

solution particulière a=3 et c=1
2a-5c=2.3-5.1 ssi 2(a-3)=5(c-1)

donc 2|5(c-1) donc 2|(c-1)  car pgcd(5,2)=1

donc il existe k relatif tel que c=1+2k

et a=5k+3

comme 0<a≤6 donc 0<5k+3≤6 donc -3<5k≤3 donc k=0

donc a=3 et c=1

N=361 (base 7)=163(base11)

voila bon courage

Ton énoncé signifie que N = 7²a+7b+c = 11²c+11b+a

donc on cherche a,b, c tous entiers naturels inférieurs ou égal à 6, tels que :
121c+11b+a-49a-7b-c = 0
120c+4b-48a = 0
30c+b = 12a.

Il y a alors plusieurs cas à étudier :
Si a<5, 2a<10 :

En base 10, on obtient :3c * 10 + b = 10a + 2a
donc par identification :b = 2a et 3c = a

b = 2a, d'où b est pair et non nul, et donc a<4.
a = 3c, donc a est un multiple de 3.
Pour que a soit inférieur stricteent à 4, et un multiple de 3, la seule solution pour a est 3.

Si a<5 :
361 (base7) = 163 (base 11) = 190 (base10)


Si a = 5, 2a = 10 :

En base 10, on obtient :3c * 10 + b = 10(a+1)  
donc par identification :b = 0 et 3c = a+1
d'où c = 2.

Si a=5 :
502 (base7) = 205 (base 11) = 247 (base10)

Si a = 6, 2a = 12 :

En base 10, on obtient :3c * 10 + b = 10(a+1) + 2  
donc par identification :b = 2 et 3c = a+1
d'où impossible, car a+1 n'est pas un multiple de 3. Les deux seules solutions sont donc celles décrites précédemment