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Matric de Gram (alg lin)
Bonjour,
J'ai un petit problème d'algèbre linéaire, dans la matrice de Gram
associée à une liste de vecteur
est définie par
Il paraitrait que pour une matrice de Gram donnée alors cela détermine entièrement la liste de vecteurs associée à isométrie près. Alors voilà je me retrouves avec la matrice
et je n'arrive désespérément pas à retrouver la base de qui lui est associée...
Merci beaucoup d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider 
.
PS: Si vous avez une méthode générale, je suis d'autant plus preneur 
Bonjour Surb
Ne connaissant pas trop le sujet, je n'ai pas voulu abimer ton beau dossier rouge, en espérant que quelqu'un saura vraiment!
Ceci étant dit, je suis sceptique... D'abord il faut certainement avoir r > 0. Ensuite, vu que c'est à isométrie prés, on peut peut-être commencer par un très simple, comme par exemple
et regarder... Ensuite
doit être de norme r, indépendant avec
et vérifier
... As-tu essayé comme ça?
Bonjour Camélia,
Ne connaissant pas trop le sujet, je n'ai pas voulu abimer ton beau dossier rouge, en espérant que quelqu'un saura vraiment!
Pas de problème
je préfère un tentative de réponse que pas de réponse du tout 
.
Ceci étant dit, je suis sceptique... D'abord il faut certainement avoir r > 0
Je suis d'accord qu'il faudrait poser quelques conditions sur la matrice, c'est pour ça que je l'ai formulé:
pour une matrice de Gram donnée
et non "pour une matrice quelconque", je sous-entendait que cette matrice était construite dès le début par une base et que je voudrais retrouver cette base. (La base en question est la base d'un réseau de
).
Ensuite, vu que c'est à isométrie prés, on peut peut-être commencer par un v_1 très simple, comme par exemple (\sqrt r, 0,0,0) et regarder... Ensuite v_2 doit être de norme r, indépendant avec v_1 et vérifier <v_1,v_2>=a... As-tu essayé comme ça?
Oui
, c'est la première idée qu'il m'est venu en tête aussi et j'ai tenté d'en faire une démonstration générale mais mon problème est que je n'arrives pas à garantir le fait que lorsque l'on va calculer la dernière composante non nulle d'un vecteur (i.e. la ième pour le vecteur v_i), je n'arrives pas à garantir que la somme des carrés des composantes précédentes sera inférieur à r (si ce n'est pas le cas il faudrait avoir une composante complexe ce qui est exclu). C'est d'ailleurs pour cela que je n'en ai pas parlé tout de suite.
Peut-être que cela vient des hypothèses que j'ai "cachées" (car je ne les connais pas vraiment ....) et c'est effectivement pour cela que j'espérais que quelqu'un qui avais déjà étudié le sujet pourrais m'aider (surtout que je trouves l'article wikipedia sur le sujet extrêmement peu clair...).
Dans tous les cas, merci pour ta réponse
.J'adore les "tores plats isospectraux non isométriques"! même s'ils ne font pas partie de mes connaissances intimes... J'espère que quelqu'un sera compétent!
Oui , c'est la première idée qu'il m'est venu en tête aussi et j'ai tenté d'en faire une démonstration générale mais mon problème est que je n'arrives pas à garantir le fait que lorsque l'on va calculer la dernière composante non nulle d'un vecteur (i.e. la ième pour le vecteur v_i), je n'arrives pas à garantir que la somme des carrés des composantes précédentes sera inférieur à r (si ce n'est pas le cas il faudrait avoir une composante complexe ce qui est exclu).
"La somme des carrés des composantes précédentes" est inférieure ou égale à r. Si ce n'était pas le cas, v1,v2,v3,v4 n'existeraient pas.
Il n'y a pas besoin d'en faire une démonstration, si l'on montre qu'il existe une base dans laquelle dans laquelle les vecteurs v_i ont les coordonnées suggérées par Camélia (bonjour, Camélia; ça fait un moment qu'on ne s'était pas rencontrés sur ce forum
).
Pour cela, il suffit de considérer l'orthonormalisée de Schmidt de v1,v2,v3,v4.
Bonjour perroquet
Je n'étais pas sure qu'il n'y ait pas des résultats spécifiques dont je n'aurais jamais entendu parler... (comme des tores en question!)
Merci beaucoup pour vos réponses ,
c'est fort dommage que la taille des documents soit à ce point là limitée sinon je me serai fais un plaisir de vous donner une construction rigoureuse et complète de cette base en dimension n pour une matrice "quelconque" (bien sure en supposant qu'elle provienne d'une base)... Avec de plus la preuve que pour deux bases isométriques leur matrice de Gram associée est la même, ce qui aurait clos ce topic de manière sympathique...
Pour la culture générale, concernant les tores en questions, ce tores furent d'abord découvert par A.Schiemann (ou un exemple plus particulier d'entre eux) et ils sont la réponse à la question posée par Kac en 1966 qui était:
"Can we hear the shape of a drum?"
Kac n'avait pas pris une drogue ou quelque chose de ce genre, mais en soit cette question revient à: si on connait les fréquences d'une percussion peut on retrouver la forme de l'instrument. Ces fréquences sont en fait les valeurs propres du Laplacien sur le domaine en question. La réponse est oui pour les dimensions 1,2 et 3 et non pour les dimensions supérieurs, il a fallu attendre les années 90 pour le non des dimensions supérieurs et 10 ans de plus pour la dimension 3.
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