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Matrice
Bonjour,
Déterminer toutes les matrices Mn(R) tel que : M^5=M^2 et tr(M)=n
J'ai commencé par raisonner sur l'éventuelle diagonalisabilité de M. Après factorisation j'arrive à trouver un polynôme annulateur de M : M^2(M-I)(M^2+M+I) =0 ce polynôme n'est pas scindé simple donc puis-je dire que sp(M)={0,1} ?
Néanmoins si c'est le cas tr(M(diag)) < n ce qui ne convient pas.
Merci de m'aider
Tu déduis du polynôme annulateur que le spectre de la matrice est inclus dans {0,1} . Comme tr(M) ne dépend pas de la base où est écrite M , tr(M)=somme des valeurs propres = n = multiplicité de la valeur propre 1, donc 0 ne peut pas être valeur propre et la seule valeur propre possible est 1 .
On a alors det(M)=1 , donc M inversible d'où M^3=1 , d'où un polynôme annulateur scindé à racine simple dans C : M est diagonalisable et M=I_n
Bonjour
Sauf que rien ne dit que la matrice est diagonalisable! Une rotation plane d'angle (complétée par des 0 et/ou des 1, vérifie l'équation.
L'équation oui , mais pas tr(M)=n .
Ici le spectre ne peut contenir 0 sinon la condition précédente n'est pas vérifiée : la matrice est trigonalisable dans C , et sa diagonale est formée de 1 : elle est inversible ....
Tu as probablement raison, mais il me semble que ça demande justification... Si n est grand, on peut avoir des valeurs propres conjuguées j et avec même multiplicité, et
... D'accord ça ne colle plus pour la trace, mais je crois qu'il faut le dire!
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