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Matrice

Posté par
liline38 24-12-11 à 15:55

Bonjour, je fais un petit bloquage sur un dm

On me donne une première matrice A =

7/12-1/61/12
-1/32/3-1/3
1/12-1/67/12


J'ai calculé : det(A-I3) et trouver un polynome avec les racines 1; 1/2; 1/3
Puis l'on m'a donné une matrice X [ x ; y ; z ] ( en colonne )

et j'ai du résoudre le systeme (A-I3)X = 0
pour des valeur de = 1, = 1/2 = 1/3

J'ai montrer que les solutions étaient des droites et ai aussi trouvé leurs vecteurs directeurs.

Ensuite on me donne une seconde matrice P =
111
-202
1-11


J'ai calculé P-1, j'ai calculé D =P-1AP
et désormais on me demande de calculer Dn et la je suis bloquée...

Merci si vous pouvez m'aider et que vous prenez le temps, même en se reveillon de Noel.
Joyeuses fetes à tous !

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice 24-12-11 à 15:57

Bonjour

Normalement, tu as trouvé D diagonale! donc ses puissances sont plutôt évidentes!

Posté par
sabagare : Matrice 24-12-11 à 21:42

\[A = PD{P^{ - 1}} \Rightarrow {A^n} = P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&0&0\\ \\ 0&{\frac{1}{{{2^n}}}}&0\\ \\ 0&0&{\frac{1}{{{3^n}}}} \\ \end{array}} \right){P^{ - 1}};{D^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&0&0\\ \\ 0&{\frac{1}{{{2^n}}}}&0\\ \\ 0&0&{\frac{1}{{{3^n}}}} \\ \end{array}} \right)\]

Posté par
liline38re : Matrice 25-12-11 à 14:46

Heu non justement je ne trouve pas D,

Pour P-1 j'obtiens :

1/4-1/41/4
1/20-1/2
1/41/41/4


(j'ai fait un systeme de 3 equations à 3 inconnues et je l'ai résolu)
et du coup pour D, je trouve plein de fraction mais pas du tout une matrice diagonale !

Posté par
liline38re : Matrice 25-12-11 à 15:06

En fait si, j'ai trouvé P.P-1 c'est égal à I3
Et du coup D est égal à A en matrice diagonale ( ou on garde les nombres de la diagonale mais on remplace les autres par des 0 ) et donc Dn devient beaucoup plus facile à calculer !

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice 25-12-11 à 15:58

Non, on ne garde pas les nombres de la diagonale de A. Fais le calcul...

Posté par
liline38re : Matrice 25-12-11 à 16:08

J'ai fait le produit de P.P-1.A
P.P-1 =
[1 0 0
0 1 0
0 0 1]

avec P.P-1.A =
[7/12   0   0
0     2/3  0
0      0   7/12]

Il y a quelque chose que je ne sais pas faire ou alors j'ai raté une étape !

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice 25-12-11 à 16:13

Tu n'as pas fait ce que l'on te demande! On te demande P^{-1}AP

Posté par
liline38re : Matrice 25-12-11 à 17:58

ah oui ! P-1A =
[1  -4/3  1
1   0    -1
1/3 1/3  1/3]

?

Posté par
liline38re : Matrice 25-12-11 à 18:32

non, finalement j'ai repris mes calculs du début et je trouve bien le même D ! matrice diagonale effectivement avec 1, 1/2, 1/3
je trouve finalement A =
[-2     0       6
0      -1/2n   0
2/3n-1  0  2/3n

Posté par
sabagare : Matrice 25-12-11 à 22:13

\[\begin{array}{l} \\ {A^n} = P{D^n}{P^{ - 1}}\\ \\ {A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&1&1\\ \\ { - 2}&0&2\\ \\ 1&{ - 1}&1 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&0&0\\ \\ 0&{\frac{1}{{{2^n}}}}&0\\ \\ 0&0&{\frac{1}{{{3^n}}}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ {\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}\\ \\ {\frac{1}{2}}&0&{ - \frac{1}{2}}\\ \\ {\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}} \\ \end{array}} \right)\\ \\ \Rightarrow {A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&{\frac{1}{{{2^n}}}}&{\frac{1}{{{3^n}}}}\\ \\ { - 2}&0&{\frac{2}{{{3^n}}}}\\ \\ 1&{ - \frac{1}{{{2^n}}}}&{\frac{1}{{{3^n}}}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ {\frac{1}{4}}&{ - \frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}\\ \\ {\frac{1}{2}}&0&{ - \frac{1}{2}}\\ \\ {\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}}&{\frac{1}{4}} \\ \end{array}} \right)\\ \\ \Rightarrow {A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ {\frac{1}{4} + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}}&{ - \frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}}&{\frac{1}{4} - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}}\\ \\ { - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 \times {3^n}}}}&{ - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 \times {3^n}}}}&{ - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 \times {3^n}}}}\\ \\ {\frac{1}{4} - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}}&{ - \frac{1}{4} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}}&{\frac{1}{4} + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} + \frac{1}{{4 \times {3^n}}}} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array}\]

Posté par
liline38re : Matrice 26-12-11 à 11:01

Je n'avais encore pas fait ce que l'on me demandé, j'avais fait ; A = P.A.P-1 ...

j'ai encore un probleme dans la suite,
on note
{xn = un - vn + wn
yn = un - wn
zn = un + vn + wn

Il faut alors que j'exprime xn+1, yn+1, zn+1 en fontion de xn, yn[/sub, z[sub]n

Je pense qu'il faut utiliser les coefficients présents dans P-1 et résoudre un systeme mais je n'arrive pas à mettre le système à résoudre en place ...

Posté par
liline38re : Matrice 26-12-11 à 11:02

non j'avais fait P-1.A.P ( voilà pourquoi je ne trouvais pas pareil )


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