Salut tout le monde, voici mon exercice !

Trois marques X, Y et Z d'un dentifrice occupent un secteur de consommation.
Chaque mois, les consommateurs de la population étudiée utilisent une et une seule de ces marques.
Soit n un entier naturel. Pour un consommateur pris au hasard, on désigne par Xn , (respectivement Yn , Zn ) l'événement: «La marque X ( respectivement Y ou Z) est utilisée au cours du n -ième mois ».
Les probabilités des événements Xn,Yn et Zn , sont respectivement notées xn , yn et zn .
Au cours du mois d'essai ( n=0 ), on a observé les valeurs initiales : x0=0,1 , y0=0,2 et z0=0,7 .
D'autre part, par sondage, on a pu déterminer les intentions des consommateurs que l'on supposera constantes.
La probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque X au cours du mois cours du mois suivant est 0,4 (respectivement 0,3 et 0,3).
La probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque Y au cours du mois cours du mois suivant est 0,3 (respectivement 0,4 et 0,3).
La probabilité, pour un consommateur ayant utilisé la marque Z au cours du mois cours du mois suivant est 0,2 (respectivement 0,1 et 0,7).


1. Pour tout entier naturel n , exprimer xn+1, yn+1 et zn+1 en fonction de xn, yn
2. On considère les matrices : A=(0,2 0,1 ; 0,2 0,3), Un=(xn ; yn)et B=(0,2 ; 0,1)
Montrer que, pour tout entier naturel n , on a Un+1=A Un+B .
3. Soit la matrice P=(1 1 ; -1 2)
a. Montrer que P est inversible et calculer P^-1
b. Calculer D=P^-1AP
c. En déduire, pour tout n entier naturel, la matrice Dⁿ, puis la matrice Aⁿ en fonction de n
4a. Démontrer qu'il existe une matrice C telle que C=AC+B et calculer C
b. En déduire l'expression de Un en fonction de n
5a. Exprimer X_n, Y_n et Z_n en fonction de n
b. Que conclure de l'utilisation, à long terme, des marques X, Y et Z?

Voilà mon exercice et je bloque à la question 4b si quelqu'un peut m'aider ça serait gentil merci beaucoup