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Niveau Licence Maths 1e ann
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Matrice

Posté par
biblain75680 31-10-15 à 20:59

Bonsoir,

Je n'arrive pas à trouver les valeurs ainsi que vecteurs complexe de le matrice B. Pourriez vous m'aider s'il vous plat.
Je vous remercie d'avance.

La matrice B   \left(\begin{array}{l}a  -b\\b    a\end{array}\right)

J'ai commencé par montrer que dét (A - \lambdaI) = 0

Je trouve dét \left(\begin{array}{l}a-\lambda   -b\\b      a-\lambda \end{array}\right) = 0 puis je dois trouver le polynome caracteristique mais je n'y arrive pas. Besoins de votre aide.

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:05

Bonsoir:
C'est un trinome du second degré en :calcul de etc...

Posté par
Raptorreponse 31-10-15 à 21:07

Bonsoir,

pour une matrice 2*2 on effectue un GAMMA comme pour montrer que des vecteurs sont colineaires

tu t en souviens pas ?

Posté par
biblain75680re : Matrice 31-10-15 à 21:11

Bonsoir,

merci de m'avoir répondu

J'ai essayer de chercher le trinome du second degres mais je n'y arrive pas.De plus, on nous parle de compléxe donc je ne sais pas comment on mêle complexe ainsi resolution de l'equation.


Et concernant la méthode GAMMA je ne l'ai pas vu en cours.

Pourriez vous m'éclaircir s'il vous plait.

Posté par
Raptorreponse 31-10-15 à 21:15

Mais on y voit en seconde au Lycee!

ca remonte à loin apparemment

on commence en haut a gauche a-lambda qu on multiplie par le nombre en bas a droite ( a-lambda encore ) puis on effectue une soustraction du nombre en bas a gauche qu on multiplie avec le nombre en haut a droite

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:25

tu vas t'apercevoir que est negatif d'où les racines complexes...

Posté par
biblain75680re : Matrice 31-10-15 à 21:27

vous parliez de la formule pour calculer le déterminant.

J'avais appliquer cet formule et je trouve : (a - \lambda )(a - \lambda ) + b²

Mais comment mettre cet expression sous la forme de trinôme je ne m'en souviens plus

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:27

tu developpes

Posté par
biblain75680re : Matrice 31-10-15 à 21:32

je trouves a² -a \lambda -a \lambda + (\lambda )² + b²

Est ce correct ? S'il vous plait

c'est après que je n'arrive pas

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:34

met le sous la forme habituelle d'un trinome:A2+B+C

Posté par
biblain75680re : Matrice 31-10-15 à 21:37

je ne vois pas je viens d'essayer je suis un peu perdu avec a² et b²

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:38

a et b sont des parametres,l'inconnue est :donc tu l'ordonnes par rapport aux puissances de

Posté par
biblain75680re : Matrice 31-10-15 à 21:40

merci je vais essayer

Posté par
philgr22re : Matrice 31-10-15 à 21:42

c'estb comme si a et b etaient ds valeurs numeriques

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 12:34

Bonjour,

Je n'ai toujours pas trouver pourtant j'ai essayé plusieurs fois.

Besoin de votre aide, s'il vous plait.

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 13:18

Pour la matrice
La matrice B   \left(\begin{array}{l}a  -b\\b    a\end{array}\right)

Je trouve comme déterminant :  (a - \lambda )(a - \lambda ) + b² = (a - \lambda )² + b²

On m'a dit de développer pour trouver le polynôme et c'est ici que je suis bloqué.

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 13:31

Lorsque je dévelloppe je trouve :

a² - 2a\lambda + \lambda² + b² = 0

Est ce correct ?

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 15:06

excusez moi de vous déranger

Pourriez vous m'aider

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 15:28

bonjour

biblain75680 @ 31-10-2015 à 21:27

vous parliez de la formule pour calculer le déterminant.

J'avais appliquer cet formule et je trouve : (a - \lambda )(a - \lambda ) + b²

Mais comment mettre cet expression sous la forme de trinôme je ne m'en souviens plus


les identités remarquables, tu te souviens ? on les apprend au collège, puis au lycée on apprend qu'elles restent valables dans le corps des complexes... tu as une magnifique différence de deux carrés, là, si tu veux bien te souvenir que +b² = -(ib)² ...
et que (a-\lambda)(a-\lambda) = (a-\lambda)^2

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 15:36

merci beaucoup pour votre,

oui dans mon post j'avais mis que   (a - \lambda )(a - \lambda ) + b² = (a - \lambda )² + b²

par contre les complexes, j'avais complétement oublier. Merci

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 15:47

oui, j'ai vu que tu avais fini par te souvenir qu'un nombre multiplié par lui-même, ça fait ce nombre au carré

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 16:01

(a - \lambda )² + b²  = 0 \\ (a - \lambda )² - (ib)² = 0 \\ (a - \lambda + ib ) (a - \lambda - ib) = 0
Équation de produit nul

(a - \lambda + ib ) = 0 ou  (a - \lambda - ib) = 0 \\ \lambda = a + ib          ou   \lambda = a - ib  

Est ce correct ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 16:10

c'est ça

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 16:13

merci, moi j'etais entrain de chercher delta enfait c'etait ça
du coup les valeurs propres sont  
\lambda = a + ib          ou   \lambda = a - ib  

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 16:15

tu l'aurais retrouvé avec delta, mais au prix de calculs lourdingues (et inutiles, puisque tu as pu trouver sans)
tu as tes valeurs propres, plus qu'à chercher les vecteurs propres associés

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 16:18

et encore merci
je vais maintenant chercher les vecteurs propres.

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 17:18

Pour les vecteurs propres je trouve :

- Pour \lambda = a + ib        
U1 1\choose 1

- Pour  \lambda = a + ib
U2 -1\choose 1      

Est ce correct, s'il vous plait ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 17:23

tu peux vérifier tout seul, en multipliant ta matrice par ces vecteurs en colonne : si ce sont bien des vecteurs propres, tu dois trouver la valeur propre correspondante multipliée par le vecteur propre ....

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 17:45

Merci, donc cela me donne :

\left(\begin{array}{l}a  -b\\b    a\end{array}\right) x  1\choose 1 =  \left(\begin{array}{l}a-b\\a+b\end{array}\right)

Et lorsque je multiplie valeur propre correspondante par le vecteur propre
a + ib * 1\choose 1 =  \left(\begin{array}{l}a+ib\\a+ib\end{array}\right)

Donc pour  pour \lambda = a + ib        
U1 1\choose 1 ce n'est pas bon ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 18:27

tu as tout compris ! tu as du faire une étourderie dans la résolution de ton système ...

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 18:47

Pour la résolution du système, j'ai fais :

Pour \lambda = a + ib        
\left(\begin{array}{l}a-\lambda      -b\\b      a-\lambda  \end{array}\right) *U1 =0

\left(\begin{array}{l}-ib      -b\\b       -ib \end{array}\right) *U1 =0

\left(\begin{array}{l}-ib      -b\\b       -ib \end{array}\right) * x\choose y

x = -iy donc après je suis bloqué enfin je n'arrive pas à trouver les coordonnées du vecteur propre pourriez vous me dire s'il y a une erreur quelque part
Merci d'avance

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 18:52

les coordonnées DU vecteur propre ? tu veux dire D'UN vecteur propre, non ?

déjà, si b = 0, tout vecteur convient....
ensuite, si b est non nul, la première équation est équivalente à -ix-y = 0, la seconde à x - iy = 0
on remarque que en multipliant par i la première, on obtient la deuxième, qui du coup ne sert à rien
les vecteurs doivent donc vérifier la première, soit y = -ix.
tous les vecteurs (x; -ix) avec x non nul sont donc des vecteurs propres
si tu en veux un en particulier, base de son espace propre, tu peux choisir x = 1, et tu auras (1; -i)

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 19:02

merci je vais essayer pour   pour \lambda = a -  ib        

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 19:08

Du coup je trouve U2  1\choose i

Merci pour votre explication, il y a une chose que je n'ai toujours pas compris coment on peut enlever b de l'équation ?
Et comment on choisit l'équation qui convient

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 19:25

tu peux choisir l'équation que tu veux : elles sont proportionnelles
et le b, on l'enlève en divisant tout par b, tout simplement (c'est pour ça qu'il fallait traiter à part le cas b=0 )

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 19:28

merci beaucoup du coup U2 c'est bon
c'est bien ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 11-11-15 à 19:35

oui
d'ailleurs tu pouvais vérifier tout seul

Posté par
Jygzre : Matrice 11-11-15 à 20:28

La trace étant égale à 2a et le Déterminant étant égal à a^2+b^2 permet de savoir instantanément que les valeurs propres sont a+ib et a-ib

Posté par
biblain75680re : Matrice 11-11-15 à 21:55

MERCI BEAUCOUP

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 00:06

Excusez moi de vous déranger, c'est parce que je veux être sure que j'ai bien compris, car le professeur nous a dit que l'on auras un exercice de ce type le jour de l'interrogation.
Dans la suite de l'exercice on me demande de calculer la matrice de passage P et P^-1

Je trouve : P = \left(\begin{array}{l}1    1 \\-i     i\end{array}\right)

P^-1 = \frac{1}{a²+b²} \left(\begin{array}{l}1    1 \\-i     i\end{array}\right)

Et enfin la forme diagonale notée A : \left(\begin{array}{l}a+ib      0\\0       a-ib \end{array}\right)

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 12-11-15 à 15:48

P : OK
P^{-1} : pas ok, d'ailleurs as-tu testé P\times P^{-1}, pour voir ? ça doit te donner la matrice unité, des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs ...

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 17:54

j'ai donc trouvé P^-1 = \frac{1}{a² - b²} \left(\begin{array}{l}1    1 \\-i     i\end{array}\right)

non  je n'ai pas encore testé, je vais essayer.

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 18:32

J'ai résseyer de faire l'exercice mais il y a une chose que je n'ai pas compris :
Pour la matrice B   \left(\begin{array}{l}a  -b\\b    a\end{array}\right)

Je trouve dét \left(\begin{array}{l}a-\lambda   -b\\b      a-\lambda \end{array}\right) = 0

Du coup aprés j'ai trouvé que (a - \lambda )(a - \lambda ) + b² = (a - \lambda )² + b²
Mais ce n'est pas : (a - \lambda )(a - \lambda ) - (-b)² ? Et ceci est  égale à (a - \lambda )² - b² et non à (a - \lambda )² + b²

Posté par
Jygzre : Matrice 12-11-15 à 19:15

biblain75680 @ 12-11-2015 à 18:32

]
Mais ce n'est pas : (a - \lambda )(a - \lambda ) - (-b)² ?


Ça sort d'où ça ?!

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 19:22

la formule du déterminant mais du coup je vien de comprendre, c'est faux ce que j'ai mis dans le post précédent

Excusez moi
Je trouve dét \left(\begin{array}{l}a-\lambda   -b\\b      a-\lambda \end{array}\right) = 0

Du coup après j'ai trouvé que  (a - \lambda )² - (-b*b)   =  (a - \lambda )² + b² c'est bien sa ?

Posté par
Jygzre : Matrice 12-11-15 à 19:25

C'est un déterminant 2x2 tu as sérieusement besoin d'une confirmation pour un produit et une addition ?

...

Oui c'est bien ça ...

Posté par
Jygzre : Matrice 12-11-15 à 19:25

deux produits*

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 19:28

merci
non non je me suis embrouillé dans mes calculs

Posté par
Jygzre : Matrice 12-11-15 à 19:32

Un peu de sérieux ...

Posté par
biblain75680re : Matrice 12-11-15 à 21:03

Je ne vois pas mon erreur pour P^-1 = \frac{1}{a²+b²} \left(\begin{array}{l}1    1 \\-i     i\end{array}\right)

Pourriez vous m'aider s'il vous plait

Merci d'avance

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