bonjour,
1)
que O n'est pas une de ces valeurs propres .

ou que dim f = n si c'est une matrice nxn et f l'application linéaire associée à cette matrice.

K.

salut hugo,

Im(f) = Vect(f(e1),..,f(en))

NeO

On fait donc intervenir les colonnes de la matrice.


Neo

Bonjour.
Comme neo vient de te le signaler, ce sont les colonnes qui interviennent car elles représentent les images des vecteurs de la base de départ : leur rang sera la dimension de Im(f) donc le rang de f par définition. Cependant, on démontre que le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée. Conséquence : rang des colonnes = rang des lignes. Alors, si les lignes sont plus simples à étudier que les colonnes, on passe par les lignes.
Cordialement RR.

d' accord pour la 2eme question !

pour en revenir à la premiere question :
"Comment peut on montrer qu' une matrice est inversible sans calculer le déterminant ?"

j' ai pas bien compris ce qu' a expliqué disdrometre
à savoir

"montrer que O n'est pas une de ces valeurs propres .

ou que dim f = n si c'est une matrice nxn et f l'application linéaire associée à cette matrice."

pouvez vous m' expliquer ?
merci

en fait ce n'est dimf mais dim Imf c'est à dire le rang de la matrice.
il faut que le rang de la matrice est égale n.

si M est régulère et donc inversible alors detM est non nul.


or detM est le produit des valeurs propres de M.

si det M non nul alors aucune des valeurs propres de M est nulle.

K.

pour la matrice inverse, y'a une autre méthode mais en général assez longue et ennuyante...Je suppose que tu as déjà vu le pivot de gauss? tu vas l'utiliser ici alors!
soit une matrice A de dimension n x n, et la matrice identité n notée B
le but est simple, d'un coté tu as ta matrice A et de l'autre ta matrice B, tu vas ensuite,par le pivot de gauss, effectuer une suite d'opération sur les lignes de A de facon a avoir ta matrice B (matrice unité) a la place de ta matrice A...ta matrice inversée sera alors a la place de B

un petit exemple ici : https://www.ilemaths.net/sujet-matrice-inverse-82431.html

merci beaucoup j' ai compris.

maintenant j' ai un autre probleme.

j' ai vu dans des exercices que pour montrer qu' une application était isomorphisme on pouvait montrer que le déterminant n' était pas nul.

Par exemple si on trouve un disciminant égal à t+3 on dis qu' il y a isomorphisme si t différent de -3.
Mais (comme dans mon cas ) quand on ne peut pas utiliser le discriminant comment faire pour montrer l' isomorphisme ?

merci