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Matrice
Bonsoir,
Entrain de réviser des anciens partiels d'algèbre sur les matrices, j'aurais besoin d'aide concernant mes réponses.
Soit N
Mn(
) une matrice carrée. On suppose que N^3=0.
1) Justifier que N est pas inversible.
Pour cela, j'ai pensé à partir de l'égalité suivante :
NN^(-1)=In
puis de multiplier par N^3 des deux cotés pour avoir :
N^3=In*N^3=0 donc pas inversible.
2) Calculer le produit (In-N)(In+N+N^2) et (In+N+N^2)(In-N).
Je tombe sur : In pour les deux.
3) En déduire que la matrice In-N est inversible et preciser son inverse.
La je ne vois pas comment déduire.
4) On considère une matrice N=(...), calculer N^2 et N^3 et en déduire l'inverse de la matrice M=(...).
Je n'ai pas rentré les matrices, mais dans le principes je ne vois pas comment en déduire l'inverse de M.
Merci d'avance pour vos réponses.
salut
es-tu sûr qu'il n'y a pas d'information supplémentaire sur N ?
comment peux-tu écrire N-1 alors qu'on te demande de montrer que N n'est pas inversible ?
1/ est donc du charabia ...
3/ ben si A(I - N) = (I - N)A = I il semble évident par définition que l'inverse de I - N est ...
4/ il ne faut évidemment la matrice N et les résultats demandés !!!
Bonsoir,
On peut écrire des matrices avec l'"aide à l'écriture Latex"
puis c'est le 3ème bouton orange à partir de la droite
Un menu déroulant apparaît.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Bonjour,
1) tu peux faire comme tu as fait...en supposant que N-1 existe et en arrivant à une contradiction, sinon le déterminant conclu aussi .
Sylvieg : dans cet exercice on a pas besoin d'écrire les matrices même si ça peut servir plus tard.
salut
es-tu sûr qu'il n'y a pas d'information supplémentaire sur N ?
comment peux-tu écrire N-1 alors qu'on te demande de montrer que N n'est pas inversible ?
1/ est donc du charabia ...
3/ ben si A(I - N) = (I - N)A = I il semble évident par définition que l'inverse de I - N est ...
4/ il ne faut évidemment la matrice N et les résultats demandés !!!
Pas plus d'information concernant N, mis à part que j'ai fait une erreur : N
Mn().@bernardo314,
Oui, pour les questions 1)2)et 3).
Pour la 4), même si on se doute de ce qui va se passer, c'est mieux de savoir ce que sont N et M.
@Floflo03,
3/ ben si A(I - N) = (I - N)A = I il semble évident par définition que l'inverse de I - N est ...
je persiste à dire que 1/ est faux ...
Soit N
Mn() une matrice carrée. On suppose que N^3=0.
1) Justifier que N est pas inversible.
Pour cela, j'ai pensé à partir de l'égalité suivante :
NN^(-1)=In
puis de multiplier par N^3 des deux cotés pour avoir : tout ça pour arriver à N^3 = 0 ce qui est déjà l'énoncé !!!
N^3=In*N^3=0 c'est l'énoncé donc pas inversible. et tu conclut le résultat directement sans rien faire !!!
si N^3 = 0 alorrs il existe x
0 tel que N3 (x) = 0
et on ne pourra conclure que si on sait que N2(x)
0
il manque donc l'hypothèse
Bonjour carpediem,
Plutôt que noter N-1 l'éventuel inverse de N, je propose de le noter B :
Si N est inversible avec B son inverse alors NB = In.
On peut calculer N3B3 de deux manières différentes et aboutir à la contradiction In = 0.
Bref, 1) ne me semble pas faux.
Merci pour vos réponses, je veux de refaire l'exercice ce matin.
Concernant la question 2, je trouve que les deux produits sont égaux à In, donc je peux écrire :
(In-N)(In+N+N^2)=In
(In+N+N^2)(In-N)=In
Ce qui correspond à la définition d'une matrice inversible.
Si l'on remplace (In-N)=A et (In+N+N^2)=B
Alors :
AB=In
BA=In
3) La matrice (In-N)=A est donc inversible et son inverse et (In+N+N^2)=B
4) On remarque que M=In-N
On en déduit que l'inverse de M est (In+N+N^2).
Merci de votre aide.
3.
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