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Matrice

Posté par
matheux14 28-01-22 à 00:28

Bonjour,

Soit U la matrice :

U = \begin{pmatrix} 0~~~ 1~~~1~~~1 \\\ 1~~~0~~~1~~~1 \\\ 1~~~1~~~0~~~1 \\\ 1~~~1~~~1~~~0 \end{pmatrix}


1-a) Calculer U²-2U -3I_4

b) En déduire que U est inversible et donner U^{-1}


2) Soit \beta_1 X + \alpha_k le reste de la division euclidienne de X^k par X² - 2.

a) Montrer que U^k = \beta_k U + \alpha_k

b) Déterminer les racines de X²- 2X -3.

c) Déterminer \alpha_k et \beta_k

d) En déduire U^k ~;~ k \ge 0.


Je bloque sur la 1-b)

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 00:58

1-a) U²-2U -3I_4 = \begin{pmatrix} 0~~~ 0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \end{pmatrix}

Posté par
Vassilliare : Matrice 28-01-22 à 01:08

Rebonsoir,

Tu es bien parti, il va falloir se servir de ce résultat pour la suite, est-ce qu'il n'y aurait pas moyen d'écrire que la matrice U multipliée par une autre matrice soit égale I_4 en travaillant un peu avec l'égalité que tu viens de trouver ?
Si oui, c'est gagné pour trouve l'inverse

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 01:17

U² -2U = 3I4

U[3(U-2)] = I4

Donc U est inversible et son inverse est 3(U-2).

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 01:18

1/3 au lieu de 3

Posté par
Vassilliare : Matrice 28-01-22 à 01:31

Je pense que tu as compris l'idée sauf qu'en maths U-2 ce n'est pas clair, comment je peux faire une matrice moins un entier ? Ca ne va pas, ce qu'il faut soustraire, ce sont des matrices entre elles

Il faut donc écrire \dfrac{1}{3}(U-2I_4) et dans le contexte de ton exercice, donner la matrice correspondante.

Je te souhaite bonne nuit mais je suis sure que tu arriveras à finir au moins la question 1-b seul

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 10:08

U^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3}~~~\dfrac{1}{3} ~~~\dfrac{1}{3}~~~\dfrac{1}{3} \\\\\\ \dfrac{1}{3}~~~-\dfrac{2}{3}~~~\dfrac{1}{3}~~~\dfrac{1}{3} \\\\\\ \dfrac{1}{3}~~~\dfrac{1}{3}~~~-\dfrac{2}{3}~~~\dfrac{1}{3} \\\\\\ \dfrac{1}{3}~~~\dfrac{1}{3}~~~\dfrac{1}{3}~~~ -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 10:59

Bonjour,

Oui mais pourrais -tu vérifier ton énoncé ici :

  

Citation :
2) Soit \beta_{\red k} X + \alpha_k le reste de la division euclidienne de Xk par X² - 2.


En particulier ce qui est souligné en gras.

Je peux me tromper mais j'ai un doute.  

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 11:07

Oui, c'est plutôt X²-2X-3

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 11:08

Je pense qu'il s'agit plutôt du reste de la division euclidienne de :

   X^k par X^2-2X-3

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 11:09

Alors, tu peux continuer avec ça

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 12:13

2-a)  \beta_k X + \alpha_k est le reste de la division euclidienne de X^k par X² - 2X -3 ; \exists A \neq 0 ~;~ X^k = A(X²-2X-3) +\beta_k X +\alpha_k

En posant U = X on a : X^k = A(X²-2X-3) +\beta_k X +\alpha_k \iff  U^k = A(U²-2U-3I_4) +\beta_k U +\alpha_k

On a montré que U²-2U -3I_4 = \begin{pmatrix} 0~~~ 0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~0 \end{pmatrix}

Il vient U^k =\beta_k U +\alpha_k

b) X²-2X-3 = (X + 1)(X -3)

Les racines de X²-2X-3 sont -1 et 3.

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 12:28

2-c) Je calcule U² ; U3 puis U4 puis conjecturer.

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 12:50

2)a) Après tout, pourquoi pas. J'aurais fait une récurrence.

2)c) Non non, il faut repartir de la définition avec les polynômes:

\beta_kX+\alpha_k est le reste de la division euclidienne de X^k par X^2-2X-3

  Autrement dit:

   X^k=(X^2-2X-3)Q(X)+\beta_kX+\alpha_k

Mais \dfrac{X^k}{X^2-2X-3}=\dfrac{X^k}{(X+1)(X-3)}=Q(x)+\dfrac{A}{X+1}+\dfrac{B}{X-3}

  Une décomposition en fractions rationnelles. Tu détermines A et B

puis:

   X^k=(X^2-2X-3)Q(X)+A(X-3)+B(X+1)=(X^2-2X-3)Q(X)+\underbrace{(A+B)}_{\beta_k}X+\underbrace{B-3A}_{\alpha_k}

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 13:03

Bonjour

> Lake

Puis-je suggérer, à partir de ton égalité qui suit "Autrement dit", de juste prendre pour le polynôme X des valeurs numériques bien choisies?
Le fond est le même, mais avec moins d'intermédiaires.

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 13:06

Bonjour jeanseb

Tu as parfaitement raison !

  -1 et 3 peut être...

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 13:14

>> matheux14 :

Suis le conseil de jeanseb (j'ai toujours été un gros lourdaud !)

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 13:17



L'idée, dans la division des polynômes, est d'éviter de poser les divisions...

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 13:51

\begin{cases} (-1)^k = -2A \\\\  3^k = 4B \end{cases}  \begin{cases} A = \dfrac{(-1)^k}{2} \\ B= \dfrac{3^k}{4} \end{cases}

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 13:54

Lake n'est pas en ligne, alors je te réponds:

Commence par vérifier si tes réponses collent avec des cas simples, comme k=1  ou k=0

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 13:56

J'ai oublié le signe - pour A

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 14:04

Et réponds à la question posée:  Déterminer \alpha_k et \beta_k

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 14:51

\alpha_k = \dfrac{3^k}{4} et \beta_k = -\dfrac{(-1)^k}{2}

d) U^k = \beta_k U + \alpha_k I_4 = -\dfrac{(-1)^k}{2} \begin{pmatrix} 0~~~ 1~~~1~~~1 \\\ 1~~~0~~~1~~~1 \\\ 1~~~1~~~0~~~1 \\\ 1~~~1~~~1~~~0 \end{pmatrix} + \dfrac{3^k}{4}\begin{pmatrix} 1~~~ 0~~~0~~~0 \\\ 0~~~1~~~0~~~0 \\\ 0~~~0~~~1~~~0 \\\ 0~~~0~~~0~~~1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  \dfrac{3^k}{4}~~~ -\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2} \\\\\\ -\dfrac{(-1)^k}{2}~~~ \dfrac{3^k}{4}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2} \\\\\\ -\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2}~~~ \dfrac{3^k}{4}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2} \\\\\\ -\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2}~~~-\dfrac{(-1)^k}{2}~~~ \dfrac{3^k}{4} \end{pmatrix}

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 14:52

Tu as commis des erreurs ...
Mais suis le conseil de jeanseb :

A partir de :

Citation :
X^k=(X^2-2X-3)Q(X)+\beta_kX+\alpha_k


prends les valeurs -1 et 3 pour X.
tu obtiens immédiatement un minuscule système pour \alpha_k et \beta_k

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 14:55

Et inutile d'écrire à la fin la matrice U^k en \LaTeX. Tu vas y passer des heures!

\alpha_k et \beta_k suffisent.

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 15:59

L'autre erreur que tu as commise est de méthode: avant de te lancer dans du Latex chronophage, vérifie avec k=1 et k=0 que ton k et ton k sont justes. Ca prend quelques secondes et t'évite de gaspiller ton temps.

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 18:59

\alpha_k = \dfrac{4*3^{k}-3^{k+1}+3*(-1)^k}{4} et \beta_k = \dfrac{3^{k}-(-1)^k}{4}

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 19:02

Oui mais remarque que :

   4*3^k-3^{k+1}=3^k

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 19:30

Merci

Posté par
lakere : Matrice 28-01-22 à 19:34

De rien pour moi matheux14

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 21:38

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 28-01-22 à 22:14

Bonjour

matheux14 @ 28-01-2022 à 00:28




a) Montrer que U^k = \beta_k U + \alpha_k



ça m'étonnerait bien !

depuis quand on peut ajouter un nombre à une matrice ?

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 22:18

Bonsoir Lafol

Le post de Vassillia à 1h 31 avait déja remis les pendules à l'heure.

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 28-01-22 à 22:19

sauf qu'il a récidivé plus tard, et que là c'était en recopiant son énoncé ... énoncé foireux, ou mauvaise recopie ?

Posté par
jeansebre : Matrice 28-01-22 à 22:23

A 14h51, il avait bien mis I4 dans l'égalité.

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice 28-01-22 à 22:32

mais pas à 12h13, où il répondait justement à cette question, d'où mon interrogation sur l'origine de l'oubli

Posté par
matheux14re : Matrice 28-01-22 à 22:35

lafol j'ai bien compris.

Posté par
jeansebre : Matrice 29-01-22 à 08:27

Et moi j'avais compris qu'il avait compris

Posté par
malou Webmasterre : Matrice 30-01-22 à 13:30

Bonjour à tous

matheux14 @ 28-01-2022 à 22:35

lafol j'ai bien compris.

jeanseb @ 29-01-2022 à 08:27

Et moi j'avais compris qu'il avait compris


ben oui...c'était clair qu'il avait compris en tout cas, nous qui le suivons depuis des années, nous avions tous compris qu'il avait compris

matheux14, quand tu as ce genre de choses à écrire je te conseille d'utiliser l'éditeur Ltx
Tu gagneras énormément de temps (c'est ce que je fais moi-même), et la mise en page sera toute faite.
Matrice

Posté par
matheux14re : Matrice 30-01-22 à 16:04

D'accord


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