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Matrice à l'hopital Terminale s spécialité
Bonjour à tous,
Les matrices en spé c'est dur dur. Mon premier exo est vraiment impossible ...
J'ai essayé de faire apparaitre des suites, mais même si j'en vois une qui semble etre arithmico-géométrique, je ne sais pas comment la matérialiser ni comment utiliser les matrices pour résoudre tout ça ...
Voici le sujet:
Un patient à l'hôpital peut être dans un des 4 états suivants: soins réguliers, soins intensifs, chirurgie, sortie
Le tableau suivant donne les probabilité de passage d'un service à un autre au bout d'une journée.
| Soins réguliers | Chirurgie | Soins intensifs | Sortie | |
| Soins réguliers | 0.6 | 0.2 | 0 | 0.2 |
| Chirurgie | 0.1 | 0 | 0.8 | 0.1 |
| Soins intensifs | 0.5 | 0 | 0.33 | 0.17 |
| Sortie | 0 | 0 | 0 | 0 |
Le tableau se lit comme suit. Une personne se trouvant en soins régulier à une probabilité de 0.6 d'être en soins réguliers, 0.2 d'être en chirurgie, 0 d'être en soins intensifs et 0.2 de sortir le lendemain
Supposons que 10 patients soient admis en soins réguliers et qu'il n'y avait personne dans les services avant cela. Supposons qu'ensuite chaque jours 10 patients soient admis. Combien de personnes y aura t'il dans les services 8 jours plus tard?
il semble que la suite soit du type Un=0.6Un-1 +10 mais je sais pas comment la mettre sous forme Un en fonction de U0.Je vois à peu près comment intégrer la suite ensuite dans le tableau mais pas du tout comment faire intervenir les propriété des matrices ou une opération avec une autre matrice.
Peut être suis je aussi parti sur une mauvaise piste
D'avance merci
salut,
Alors c'est assez simple, tu a une matrice du genre :
0,6 0, 2 0 0, 2
0,1 0 0, 8 0, 1 = M
0,5 0 0, 33 0, 17
0 0 0 0
au premier jour il y a 10 patients, donc en fait, on a : (10 0 0 0 )
donc pour le jour 1 tu aura : X1 = ( [10 0 0 0 ] x M ) + [10 0 0 0 ] = [16 2 0 2 ]
pour le jour 2 tu auras : X2 = [16 2 0 2 ] x M + [ 10 0 0 0 ] = [ 19,9 3,2 1,6 3,4]
etc .... jusqu'au jour 10 
tu a donc la suite suivante : Xn+1 = XnM + C
Supposons que 10 patients soient admis en soins réguliers et qu'il n'y avait personne dans les services avant cela.
Supposons qu'ensuite chaque jours 10 patients soient admis.
Variante de l'approche matricielle, sous forme de SUITES (en supposant que les 10 admis quotidiens passent toujours par les soins réguliers...) :
SR(1) = 10
CH(1) = 0
SI(1) = 0
SO(1) = 0
Puis récurrence (en appliquant la matrice de transfert) :
SR(n+1) = 0,60.SR(n) + 0,10.CH(1) + 0,50.SI(n) + 0,00.SO(n) + 10
CH(n+1) = 0,20.SR(n) + 0,00.CH(1) + 0,00.SI(n) + 0,00.SO(n)
SI(n+1) = 0,00.SR(n) + 0,80.CH(1) + 0,33.SI(n) + 0,00.SO(n)
SO(n+1) = 0,20.SR(n) + 0,10.CH(1) + 0,17.SI(n) + 0,00.SO(n)
Pour les supposons, je n'ai fait que reprendre l'énoncée ... Donc j'imagine aussi que c'est en soins réguliers
Je ne comprends pas ce que tu m'expliques. Et je ne suis pas sur d'être d'accord.
Tout d'abord qu'appelles tu la matrice de transfert? Je ne sais pas comment tu fais la récurrence?
SR(1) = 10
CH(1) = 0
SI(1) = 0
SO(1) = 0
Je suis d'accord pour ce jour que j'aurais appelé 0 plutôt que 1
J'ai eu du mal à comprendre mais je vois maintenant pour quoi SR(2)=0.60.SR(1) + 0,10.CH(1) + 0,50.SI(1) + 0,00.SO(1) + 10 et les lignes suivantes, mais pourquoi gardes tu tout le temps CH(1) et pas CH(n) plutôt? Si c'est une erreur de frappe retransmise par un copier coller, je serrais plus d'accord pour dire que SR(n+1) = 0,60.SR(n) + 0,10.CH(n) + 0,50.SI(n) + 0,00.SO(n) + 10
Mais y a t'il vraiment besoin d'une récurrence pour écrire ça? une fois compris comment ça se passe ça se passe entre (1) et (2) c'est évident pour (n) non?
Je suis paumé là ...
Et puis les relations entre (n+1) et (n) ainsi données ne permettent pas d'accéder à la réponse. Je suppose qu'au final il ne faut pas calculer un par un tous les termes des suites jusqu'à n=9 ...
Merci déjà pour cette première réponse apportée mais je suis loin de tout comprendre comme tu vois.
je vois aussi que tu parles de variante de l'approche matricielle sous forme de suites.
Comme j'écrivais au départ, je me doutais bien qu'il fallait utiliser des suites, mais on est dans les matrices et c'est notre premier exercice. Et donc je suppose qu'on nous demande d'utiliser les matrices, pas simplement les suites. A moins que je t'ai mal compris (ce qui ne serait pas étonnant).
C'est bien une erreur de copier/coller 
. Il faut bien sûr lire CH(n) à la place de CH(1).
SR(n+1) = 0,60.SR(n) + 0,10.CH(n) + 0,50.SI(n) + 0,00.SO(n) + 10
Tout d'abord qu'appelles tu la matrice de transfert ?
Matrice de transfert = tableau avec les probabilités de passage.
Voir également le message de gabyc76 sur l'utilisation de ce tableau comme "matrice".
Je ne sais pas comment tu fais la récurrence ?
Mais y a t'il vraiment besoin d'une récurrence pour écrire ça? une fois compris comment ça se passe ça se passe entre (1) et (2) c'est évident pour (n) non?
Ici il n'y a effectivement pas besoin d'une démonstration par récurrence.
La définition par récurrence se suffit à elle-même.
Et puis les relations entre (n+1) et (n) ainsi données ne permettent pas d'accéder à la réponse. Je suppose qu'au final il ne faut pas calculer un par un tous les termes des suites jusqu'à n=9 ...
Par exemple avec un programme.
Et très simplement, avec un tableur.
Sur tableur, la réponse s'obtient en deux minutes.
je vois aussi que tu parles de variante de l'approche matricielle sous forme de suites.
Comme j'écrivais au départ, je me doutais bien qu'il fallait utiliser des suites, mais on est dans les matrices et c'est notre premier exercice. Et donc je suppose qu'on nous demande d'utiliser les matrices, pas simplement les suites. A moins que je t'ai mal compris (ce qui ne serait pas étonnant).
Dans ce cas il faut considérer ce qu'a proposé gabyc76.
X(n+1) = X(n)*[P]
Avec X(n) espérance des effectifs au jour n.
Et [P], la matrice des probabilités de passage.
Du coup : X(n+1) = X(1)*[Pn]
Il faut donc élever la matrice P à la puissance n.
Puis faire le produit des effectifs initiaux par cette matrice Pn.
Avec des matrices :
X(0) = (0 ; 0 ; 0 ; 0 )
X(1) = C = (10 ; 0 ; 0 ; 0 )
X(n) = (SR(n) ; CH(n) ; SI(n) ; SO(n))
X(n+1) = X(n).[P] + C
[P] matrice de passage.
[I] matrice de identité (0 partout,, 1 sur la diagonale).
Donc :
X(1) = C
X(2) = X(1).[P] + C = C.[P] + C = = C.[P] + C[I] = C.[P+I]
X(3) = X(2).[P] + C = C.[P+I].[P] + C[I] = C.[P²+P+I]
...
X(n+1) = C.[Pn + ... + P² + P + 1]
Oups je n'avais pas vu la réponse de gabyc76
tu a donc la suite suivante : Xn+1 = XnM + C
j'imagine que C = (10 0 0 0 )
Pourquoi le calcul se fait il XnM et pas MXn?
X(n+1) = X(n)*[P]
Avec X(n) espérance des effectifs au jour n.
Et [P], la matrice des probabilités de passage.
Et puis toi tu n'as pas la même notation. Il n'y a pas C dans ta version. Est ce un oubli? Les X(n) représente la même chose dans les 2 écritures? Si oui le C est important et on retombe sur le problème que j'avançais dans mon premier message : Xn+1 = XnM + C sauf erreur de ma part est une suite arithmico-géométrique et on peut pas exprimer facilement le terme (n+1) en fonction du terme (0) (ou (1) selon ce qu'on a choisi au départ)
J'avoue faire un blocage la signification de "espérances des effectifs"
Ce qui est normal...
Au jour n+1 on observe l'addition des effectifs obtenus après k jours en partant de C (k variant de 1 à n).
Pourquoi le calcul se fait il XnM et pas MXn?
Il pourrait se faire M.Xn
Mais dans ce cas, Xn serait écrit verticalement, et surtout, la matrice de passage serait la transposée de celle que tu donnes en énoncé.
C'est la raison pour laquelle Gabyc a judicieusement écrit de préférence Xn.M
Pour coller au plus près de la forme de l'énoncé.
Autre avantage : X est plus facile à écrire en ligne (a;b;c;d) qu'en colonne dans l'éditeur de l'île des maths
...
Mais mathématiquement c'est kif-kif.
J'avoue faire un blocage la signification de "espérances des effectifs"
L'énoncé parle de "probabilité".
Donc si au départ tu as bien un effectif exact de 10 en SR...
... au fil des jours cet effectif devient une "espérance mathématique".
Tu ne va pas avoir des décimales d'humains traités à l'hôpital (sauf à la rigueur en chirurgie si le gars qui opère est un sauvage qui bosse à la tronçonneuse
...).Avec des matrices :
X(0) = (0 ; 0 ; 0 ; 0 )
X(1) = C = (10 ; 0 ; 0 ; 0 )
X(n) = (SR(n) ; CH(n) ; SI(n) ; SO(n))
X(n+1) = X(n).[P] + C
[P] matrice de passage.
[I] matrice de identité (0 partout,, 1 sur la diagonale).
Pourquoi une matrice X(0)? Au premier jour considéré dans l'exercice il y a 10 personnes en SR donc on démarre directement à la ùatrice nommée ici X(1)
Donc :
X(1) = C
X(2) = X(1).[P] + C = C.[P] + C = = C.[P] + C[I] = C.[P+I]
X(3) = X(2).[P] + C = C.[P+I].[P] + C[I] = C.[P²+P+I]
...
X(n+1) = C.[Pn + ... + P² + P + 1]
On doit monter à n=9 puisque c'est 8 jours après (1 jour après on est à l'indice 2). Mais on ne peut calculer X(9) qu'avec un programme n'est ce pas?
en fait c'est l'espérance mathématique que je n'arrive pas à intégrer (j'avais bien vu la notion de proba et dans mes calculs préliminaires j'avais bien vu que j'aurais des virgules d'humains ce qui ne m'a pas choqué longtemps vu qu'il s'agissait de proba). Mais de façon générale je comprends pas la notion d'espérance mathématique
Pourquoi une matrice X(0)? Au premier jour considéré dans l'exercice il y a 10 personnes en SR donc on démarre directement à la matrice nommée ici X(1)
Oui, si tu veux.
Mais ça marche aussi en partant de X(0) nul, et auquel on applique P, ce qui donne toujours zéro, puis on ajoute C.
C'est juste pour généraliser la formule de manière plus élégante...
On doit monter à n=9 puisque c'est 8 jours après (1 jour après on est à l'indice 2).
On te demande donc : X(9) = C.(P8 + ... + P² + P + I)
Mais on ne peut calculer X(9) qu'avec un programme n'est ce pas ?
Il est peut-être possible d'appliquer une formule du genre de celle des suites géométriques, qui ressemblerait à (I - Pn+1)/(I-P) pour obtenir l asomme des Pk...
Pour cela il faudrait inverser la matrice I-P.
Mais ça demande vérification... et surtout je doute qu'on attende ça de toi. ET puis ça te donnerait quand même une matrice P à la puissance n+1 à calculer, donc...
Le chemin le plus facile en pratique pour le calcul, sauf à disposer d'un outil qui fait du calcul matriciel, c'est un tableur avec en ligne pour chaque jour la valeur de X(n) et les formules que je t'ai données pour déduire X(n+1) à la ligne suivante.
Il faut deux minutes.
en fait c'est l'espérance mathématique que je n'arrive pas à intégrer (j'avais bien vu la notion de proba et dans mes calculs préliminaires j'avais bien vu que j'aurais des virgules d'humains ce qui ne m'a pas choqué longtemps vu qu'il s'agissait de proba). Mais de façon générale je comprends pas la notion d'espérance mathématique
Si tu as 10 personnes en SR à j=1 et 0 partout ailleurs, alors au jour j=2, tu auras "en moyenne" 6 personne en SR. C'est le nombre "probable" ou "vraisemblable" de gens que tu auras. En pratique ça peut être 4 ou 5 ou 7 ou 8... ou 0 ou 10... En moyenne : 6 !
Merci pour la partie suites/matrices, j'ai bien progressé avec ça.
Si tu as 10 personnes en SR à j=1 et 0 partout ailleurs, alors au jour j=2, tu auras "en moyenne" 6 personne en SR. C'est le nombre "probable" ou "vraisemblable" de gens que tu auras. En pratique ça peut être 4 ou 5 ou 7 ou 8... ou 0 ou 10... En moyenne : 6 !
Ça j'avais compris. La notion de probabilité est assez claire pour moi. Je sais qu'on a pas le droit de faire plusieurs demandes dans un post, mais ce que je ne comprends pas c'est ce qu'est l'espérance. Je disais de façon générale car je voulais sortir du cadre de l'exercice pour pouvoir la comprendre en général
X(J) SR CH SI SORTIE
X1 10,00 0,00 0,00 0,00
X2 16,00 2,00 0,00 2,00
X3 19,80 3,20 1,60 3,40
X4 23,00 3,96 3,09 4,55
X5 25,74 4,60 4,19 5,52
X6 28,00 5,15 5,06 6,32
X7 29,84 5,60 5,79 6,97
X8 31,36 5,97 6,39 7,51
X9 32,61 6,27 6,88 7,96
La notion de probabilité est assez claire pour moi. Je sais qu'on a pas le droit de faire plusieurs demandes dans un post, mais ce que je ne comprends pas c'est ce qu'est l'espérance. Je disais de façon générale car je voulais sortir du cadre de l'exercice pour pouvoir la comprendre en général
Si on joue à pile ou face avec une pièce à faces équiprobables, la probabilité de gagner sera de 0,5 pour chacun de nous.
Supposons que je joue FACE et qu'on convienne que si FACE sort tu me donnes 5€ et si PILE sort, je te donne 3€ (on dira que c'est mon anniversaire
...).
Alors l'espérance mathématique de mes gains sera :
E(Gain) = 5€ * P(FACE) + (-3€)*P(PILE) = (5€ - 3€)*0,5 = 1€
J'ai une espérance de gain par partie de 1€ (et toi tu auras une espérance de gain de -1€).
Quand on considère une variable aléatoire, c'est à dire pouvant prendre différentes valeurs selon une certaine loi qui définit les probabilités de chaque événement... alors pour synthétiser la "tendance centrale" de cette variable aléatoire, on calcule son espérance mathématique. C'est par définition la valeur moyenne de la variable aléatoire, pondérée par la probabilité associée à chaque valeur.
C'est aussi la valeur limite que prendrait la moyenne observée si on tirait cette variable aléatoirement une infinité de fois.
En fait c'est un concept très naturel, qu'on utilise tous dix fois par jour minimum, sans jamais appeler ça "espérance mathématique"... sauf quand on est entre matheux ...
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