Bonjour

Commence par prouver que A^2k=I.

J'ai pensé à:


si A^2=I alors A^3 =A

autrement dis :
A^n = I pour n pair
A^n = A pour n impair

correcte d'écrire sa comme sa?

et je voudrais aussi savoir s'il vous connaisez une méthode apliquable sur n'importe quel matrice pour calculer A^n avec un petit exemple :p (car bon là je suis tombé sur un cas particulier).

Oui, c'est bien ça. Enfin, il faut l'emballer un peu pour la rédaction. Une petite récurrence ne ferait pas de mal...

Quant au cas général, vaste problème... Si tu sais trianguler ou diagonaliser bien sur ça simplifie les choses. par ailleurs, ton cas n'est pas si particulier que ça! Pour n'importe matrice nn il existe une manière d'exprimer Aⁿ comme combinaison linéaire des puissances inférieures. Mais tu verras tout ça un peu plus tard!

diagonaliser et trigonaliser (même si la trigonalisation est pas mon fort) je sais le faire mais en quoi celà aide t'il?

à propos je voulais demander car j'ai eu le cas résament est qu'une matrice peu etre no diagonalisable et no trigonalisable? et même question pour diagonalisable et trigonalisable?

Si tu as une matrice diagonalisable, tu as A=P^-1DP avec P inversible et D diagonale.

Alors Aⁿ=P^-1DⁿP et le calcul de Dⁿ est immédiat! C'est un peu plus subtil dans le cas d'une triangulable, mais un peu du même genre!

à merci bien pour la formule. elle est parfaite mais parfois j'ai aucun diagonalisation demandé avant, c'est que mettre la matrice à la puissance n est visible en fesant A2 voir A3 comme dans mon exemple ? en cours je me suis aperçus qu'à plusieurs calculs de A^n on calculer souvent le A² et A^3

Oui, tant que l'on n'a pas une vraie théorie on donne les indications qui marchent bien dans l'exemple que l'on veut traiter. De toute façon, pour avoir une idée de récurrence c'est un minimum de calculer A² et A³, non?

Bonjour