Bonsoir.

Je cherche les sous-espaces propres.

E(1) = Vect(1,1,1)
E(2) = Vect(1,2,1)

Je veux une base B = (e₁,e₂,e₃) telle que sur cette base A soit semblable à A' :



Naturellement on a déjà le premier et le dernier :




Posons

La condition imposée sur A' donne alors : A.e₂ = a.e₁ + e₂
ou bien : (A - I₃).e₂ = a.e₁.

Cela donne un système d'inconnues u,v,w et de paramètre a.

Je te laisse finir. A plus RR.

j'ai trouvé u = -a + w et v = w - 2a

Je fixe quoi après?

Je trouve le même résultat. Cela signifie que le vecteur que l'on cherche est :



Ceci te montre que tu dois choisir a non nul et w quelconque. Donc une infinité de choix. Par exemple, a = 1 (c'est ce que l'on prend pour la réduction de Jordan) et w = 0. Ainsi :



A plus RR.

Mon problème final étant de trouver la solution de X'(t) = A X(t) vérifiant X(0) = (2 ; 2 ; 3)

On en déduit que (P-1 X)' = A' P-1 X(t)

Si Y = (u v w )
alors u'(t)= u(t) + v (t)
      v'(t) = v(t)
  et  w'(t) = 2 w(t)

LE problème c'est que je trouve pas ces solutions :

Si w(t) = exp (2t) et v(t) = exp (t) ca marche mais ca coince avec u(t). Merci de m'éclairer!

Il te reste à étudier :

u'₁(t) = u₁(t) + u₂(t).

Comme tu as dû trouver : u₂(t) = k.e^t, tu te retrouves avec l'équation différentielle :

y' - y = k.e^t.

Tu appliques : résolution de l'équation homogène associée : y' - y = 0 <=> y = a.e^x
Ensuite, par exemple, méthode de la variation de la constante (si tu connais).

A plus RR.