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matrice base et espace vectoriel

Posté par nick (invité) 03-11-04 à 16:20

j'ai la matrice J= [\array{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}\]  La matrice I3
\vec{E} l'espace vectoriel usuel orienté muni de la base B=(\vec{i} ,\vec{j} ,\vec{k})\\
On définit f l'endomorphisme de \vecE défini par sa matrice J relativement à la base B et                           \vec{u}= \frac{1}{\sqrt{3}}(\vec{i} +\vec{j}+ \vec{k})
ça veut dire quoi  matrice J relativement à la base B?

1) calculer f(\vec{u}) et prouver que le plan Q d'équation x+y+z=0 est stable par f?

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 16:31

Salut

La matrice de f relativement à la base B, c'est la matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs images des vecteurs de la base B

Comme B = (\vec{i};\vec{j};\vec{k}), on a donc J=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(\vec{i})&f(\vec{j})&f(\vec{k})\\\hdash~\vec{i}&*&*&*\\\vec{j}&*&*&*\\\vec{k}&*&*&*}\)

Mais on peut prendre une autre base, et considérer la matrice de f relativement à cette autre base...
D'où l'importance de préciser

@+
Emma

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 16:43

Je comprend pas, J est pas déjà définie????

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 16:52

Si si...
Mais je t'expliquais la signification de "matrice de f relativement à B" !

Donc, ici, on sait déjà que la matrice de f est J=\(\array{3,c.cccBCCC$&f(\vec{i})&f(\vec{j})&f(\vec{k})\\\ \vec{i}&0&1&0\\  \vec{j}&0&0&1\\\vec{k}&1&0&0}\)

Donc on connaît f(\vec{i}), f(\vec{j}) et f(\vec{k}) :
f(\vec{i}) = 0.\vec{i}+0.\vec{j}+1.\vec{k}   donc f(\vec{i}) = \vec{k}


Vois-tu comment calculer f(\vec{u}) ?...
(sachant que f est un endomorphisme... donc f est linéaire )

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 17:21

on multiplie par \frac{1}{sqrt{3} les colonnes de J et on les additionne?  Ce qui nous donne f(vec\{u}

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 17:37



Si j'ai bien compris, tu veux la réponse en vecteur colonne... Mais il ne faut pas confondre le vecteur de ses coordonnées...

Par exemple, je distinguerai \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}.(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) du vecteur colonne correspondant (dans la base B) :
[ \frac{1}{\sqrt{3}} ]
[ \frac{1}{\sqrt{3}} ]   = U
[ \frac{1}{\sqrt{3}} ]


Alors, le vecteur colonne correspondant à f(\vec{u}) se calcule par le produit matriciel suivant :

J U

Donc, effectivement, cela revient à faire le calcul que tu annonçais... (mais ce calcul ne se base sur aucune propriété à ma connaisance... c'est pour ça que j'ai préféré donner des précisions ... )


Trouves-tu que f(\vec{u}) = \vec{u} ?...

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 17:45

Euh oui, puisque l'addition est commutative

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 17:47

Maintenant que tu as vu que f(u) = u...
as-tu prouvé que le plan Q d'équation x+y+z=0 est stable par f ?  

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:04

euh non...

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:09

tt vecteur de Q est de la forme a=(-y-z)\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}
On applique, addition commutative et c bon...

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:10

Le plan Q admet pour équation   x + y + z = 0, mais aussi, pour tou réel \lambda non nul,    \lambda.x + \lambda.y + \lambda.z = 0
Donc, pour \lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}, ...

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:14

J'ai honte

Posté par nick (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:21

mon raisonnement était il totalement faux?

Posté par Emma (invité)re : matrice base et espace vectoriel 03-11-04 à 18:55

Pas de quoi avoir, honte, nick

Pour ce qui est de ton raisonnement (relativement à ton message de 17:21, c'est bien ça ?), non, il n'est pas faux...
mais c'est la rédaction qui laissait plus qu'à désirer...
Pour justifier que  "on multiplie par \frac{1}{\sqrt{3}} les colonnes de J et on les additionne",
il faudrait passer par les vecteurs colonnes :
notons I celui correspondant à \vec{i},    J celui correspondant à \vec{j},     K celui correspondant à \vec{k},      et  U' I celui correspondant à f(\vec{u})

On a f(\vec{u}) = f(\frac{1}{\sqrt{3}}.(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}))
Or f est linéaire.
Donc f(\vec{u}) = \frac{1}{\sqrt{3}}.f(\vec{i}) + \frac{1}{\sqrt{3}}.f(\vec{j}) + \frac{1}{\sqrt{3}}.f(\vec{k})



De là, deux possibilités pour conclure :
--> Tu peux interprêter cette égalité par les vecteurs coordonnées  (cette fois, tu as justifié ce que tu présentais...)
cela revient à multiplier les colonnes de J par 1/V(3)) et à ajouter les colonnes obtenues
--> personnellement, j'aurais utilisé les expressions de f(\vec{i}), f(\vec{j}) et f(\vec{k}) en fonction des vecteurs de base (cf. mon message de 16:52)

Voilà... le raisonnement que l'on arrive à deviner est correct... dommâge que tu ne l'aies pas explicité...

@+
Emma


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