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matrice - correction incomprise
Bonjour, j'ai vraiment beaucoup de mal à comprendre le cours sur les matrices, si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la correction de cet exercice, et à m'expliquer comment on s'y "prend" (méthodes, etc.)
On considère la suite récurrence Un+2= 2Un+1 + 3Un, U0= 1 et U1=0. On pose Un= .
Prouver que Un+1= AUn, où A est une matrice à déterminer. En déduire l'expression de Un en fonction de n (on pourra travailler dans la base constituée des vecteurs (1,3) et (1,-1)).
Pour la première question, c'est bon. On trouve Un+1= AUn, avec A= . Plus particulièrement, on a: Un=
(parce qu'on reconnaît une SG de raison A).
Comme prévu, on utilise la base constituée des vecteurs V1 (1,3) et V2(1,-1).
On a alors: matB(U)= .
On cherche à exprimer U(V1) et U(V2) dans la base (V1,V2).
Or, U(V1)= A.V1, avec A= mat(U). Là c'est bon.
C'est à partir de là, que je ne comprends pas:
On utilise une matrice de passage:
PB,canY, avec Y= , Y, vecteur colonne de U(V1) dans la base (V1,V2). OK.
Pcan,B= . OK.
-> On me dit qu'elles sont inverses l'une de l'autre, et qu'on doit résoudre un système:
PB,can= Pcan, B-1, d'où:
P=
(Je ne comprends pas cette égalité)
Je mettrais la suite après.
J'espère avoir de l'aide, merci.
Bonsoir lafol,
le problème, c'est que je ne comprends pas pourquoi on doit utiliser un changement de base... on nous demande d'exprimer An, ok, on aurait pas pu tout simplement faire la matrice n-ième de A?
Donc on doit utiliser la propriété: A= Pcan,B.matB(u).PB,can, c'est ça?
Jpeux mettre la suite?, y a juste un petit passage que je ne comprends pas
Ah voilà, je ne comprenais pas pourquoi elle était diagonale?
quand je trouve u(v1) et u(v2), je trouve
3 -1
9 1
mais à la fin de mon corrigé, on me dit "qu'il n'était pas nécessaire de calculer la matrice de passage", pourriez-vous m'expliquer pourquoi?
Donc U(V1)=3V1 et U(V2)=-V2
la matrice dans la base V1,V2 est diag(3;-1)
sa puissance n ième est diag(3^n, (-1)^n)
ok, merci globalement j'ai tout compris!
mais j'ai une autre question, là c'est parce que jmy perds TT:
pourquoi est-ce que A doit avoir 2 lignes, et 2 colonnes, donc doit être de la forme:
a b
c d
?
je sais qu'un produit AB issu de A (2 lignes), et B (qui doit impérativement avoir 2 colonnes pour que AB soit défini)
mais là j'arrive pas à voir?
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