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Matrice d'une affinité

Posté par
Neyaj
14-07-10 à 12:14

Bonjour,

Je vais tout d'abord écrire l'énoncé de l'exercice. Je poserai mes questions à la fin

Soit X un espace affine de dimension 3 et R=(O,,,) un repère cartésien de X.
Soit f l'application affine de X dans X qui a M(x,y,z) associe M'(x',y,',z') vérifiants les relations :

x'=-4x-2y+z-7
y'=x-y-z-1
z'=-3x-6y-9
                                                                                                                                                                                    
1)Verifier que f est une bijection de X dans X. Determiner les valeurs propres  et les sous espaces propres de f fleche

Les valeurs propres sont 1 (simple) et -3 (double).
Le sous espace propre associé à la valeur propre -3 est engendré par les vecteurs a=(1,0,1) et b=(0,1,2) et le sous espace propore associé à la valeur propre 1 est engendré par le vecteur de coordonnées c=(1,-1,3).

2)Montrer que f admet une droite de point fixes que l'on note

L'ensemble des solutions est la droite passant par I(-1,-1,0) et de direction le sous espace propre associé à la valeur 1

3) Donner une définition géométrique de f

Dans le correction on exprime f dans le repère cartésien composé du point I et de la base de vecteurs propres.
J'ai appelé cette base R'=(I,a,b,c)
Quand j'exprime f dans cette base , j'obtiens cette matrice

1   0   0  0
0 -3   0  0
0   0 -3  0
0   0   0  1

Mes questions sont les suivantes:
-Pourquoi on doit exprimer f dans ce repère cartésien?
-Pourquoi cette matrice représente une affinité de rapport -3, de base le sous espace affine passant par I et de direction le sous espace propre associé à la valeur propre 1 parallèlement sous espace propre associé à la valeur propre -3?

Dans la matrice , il y a le 1 de la dernière ligne et de la dernière colonne qui me  gène pour dire que c'est une affinité déjà et le reste des caractéristiques je ne sais pas le déduire de cette matrice

Posté par
LeHibou
re : Matrice d'une affinité 15-07-10 à 00:24

Bonsoir,

Qu'appelles-tu "f fleche" ? Je suppose que c'est la partie linéaire de f...

Si je comprends bien le problème, l'idée est de transformer une application affine dans un espace affine de dimension 3 en une application linéaire dans un espace vectoriel de dimension 4. Pour confirmer cela, il faudrait que tu sois plus explicite sur ce qui est dit dans ton corrigé...

Et pour répondre à tes questions, en admettant qu'on est maintenant dans un e.v. de dimension 4, rappelle-toi que les affinités vectorielles sont les endomorphismes linéaires qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. C'est évident sur la forme que prends la matrice dans la base (I,a,b,c) :
Considère E = Vect(I,c) et F = Vect(a,b), alors E et F sont en somme directe, la restriction de f à E est bien l'identité, et la restriction de f à F est bien une homothétie de rapport -3.

Voir sur ce sujet l'article de Wikipédia :   

Posté par
Neyaj
re : Matrice d'une affinité 15-07-10 à 06:15

La réponse à la question 3) est :

La matrice représentant f sur le repère composé du point I et de la base de vecteurs propres, est diagonale, par conséquent , f est une affinité de rapport -3 ,de base le sous espace affine passant par I et de direction le sous espace propre associé à la valeur propre 1 parallèlement au sous espace propre associé à la valeur -3.

Concernant f fleche je pense que c'est bien l'application linéaire associée.



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