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Matrice d'une application linéaire

Posté par
Aerobi 20-07-11 à 10:56

Bonjour, je n'arrive pas a déterminer la matrice d'une application linéaire. Est-il possible d'avoir une méthode sur un exemple s'il vous plait. Je vous en remercie d'avance


Exemple:Donner la matrice dans la base canonique de \normalsize \mathbb{R}^3, de la projection sur le plan d'équation x+y+z=0 parallèlement à la droite d'équation x=y/2=z/3



Soit F le plan vectoriel d'équation x+y+z=0. Soit G=vect(1,1/2,1/3). Soit p le projecteur sur F parallèlement à G.
Donc une base de F est (u,v) avec u=(1,-1,0) et v=(1,0,-1). Une base de G est w=(1,1/2,1/3)
On a donc p(u)=u, p(v)=v et p(w)=0

Mais je ne sais pas comment continuer "proprement" pour obtenir la matrice dans la base canonique de \normalsize \mathbb{R}^3...

Merci d'avance

Posté par
LeHiboure : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 11:15

Bonjour,

Les colonnes de la matrice d'une application linéaire sont les images des vecteurs de la base canonique par cette application.
Donc :
image t(1,0,0) -> colonne 1
image t(0,1,0) -> colonne 2
image t(0,0,1) -> colonne 3

Posté par
Aerobire : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 11:20

Merci! C'est justement cela que je n'arrive pas a exprimer à l'aide des données..

Posté par
Aerobire : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 11:25

Faut-il calculer p(1,0,0)=(x',y',z') ?

Posté par
yoyodadare : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:02

Bonjour,

il faut déterminer les images des vecteurs de la base canonique par p.

Pour \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}:

on cherche \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 tels que \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\in F, et \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in D=Vect(1,2,3) (et non Vect(1,1/2,1/3)).

Donc a+b+c=0 et a-1=b/2=c/3, donc a+2(a-1)+3(a-1)=6a-5=0, soit a=5/6, puis b=2(a-1)=-1/3, et c=3(a-1)=-1/2.

Fais de même pour \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.

Bon courage

Posté par
LeHiboure : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:03

Exactement, oui :
Soit V un vecteur, le projeté de V sur le plan P parallèlement à G est le vecteur V+xG qui appartient au plan.
Par exemple, pour e1 = (1,0,0), f(e1) est tel que e1+xG appartient au plan
En termes de coordonnées, cela te donne
e1+xG = (1,0,0)+x(1,1/2,1/3) = (1+x,x/2,x/3)
Et donc, en écrivant que e1+xG est sur le plan :
1+x + x/2 + x/3 = 0
D'où x = -3/5, et e1+xG = (1,0,0)-(3/5)(1,1/2,1/3) = (2/5,-3/10,-1/5)
Donc la première colonne de f est t(2/5,-3/10,-1/5)
Je te laisse faire les deux autres...

Sauf erreur

Posté par
LeHiboure : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:09

Correction d'après la remarque de yoyodada, effectivement G = (1,2,3)
Donc on est amené à écrire que (1,0,0)+x(1,2,3) = (1+x,2x,3x) appartient au plan
Donc 1+x+2x+3x = 0, donc = x = -1/6
Donc (1,0,0)-(1/6)(1,2,3) = (5/6,-1/3,-1/2)
Et bonne nouvelle, je retrouve le même résultat que yoyodada que je remercie au passage

Posté par
yoyodadare : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:11

LeHibou> Mais de rien ;

Posté par
Aerobire : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:24

Merci beaucoup! J'ai tout compris sauf le fait que G=(1,2,3) ?

Posté par
Aerobire : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 12:58

Oui j'ai trouvé la même chose de cette façon:

Soit \large x=\left(\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right) un vecteur quelconque de \large \mathbb{R}^3 alors il existe \large \alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R} tel que \large x=\alpha u +\beta v+\gamma w et \large p(x)=\alpha u+\beta v=x-\gamma w

Donc \large \left(\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{l}1\\-1\\0\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}1\\0\\-1\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{l}1\\2\\3\end{array}\right)
\large \left\lbrace\begin{array}l x_1=\alpha +\beta +\gamma\\x_2=-\alpha +2\gamma\\x_3=-\beta +3\gamma\end{array}
Donc \large \gamma =\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3)
Donc \large p(x)=\left(\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)-\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3)\left(\begin{array}{1}\frac{5}{6}x_1-\frac{1}{6}x_2-\frac{1}{6}x_3\\-\frac{1}{3}x_1+\frac{2}{3}x_2-\frac{1}{3}x_3\\-\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{2}x_3\end{array}\right)

Donc \large M=\begin{pmatrix} \frac{5}{6} $ -\frac{1}{6} $ -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} $ \frac{2}{3} $ -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{2} $ -\frac{1}{2} $ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}a&b&c\\ \\ d&e&f\\ \\ g&h&i\\ \\ \end{pmatrix}

Posté par
Aerobire : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 13:00

Désolé pour mon erreur de latex je voulais faire un aperçu mais je me suis trompé de bouton et j'ai envoyé. On en déduit donc la matrice et je retrouve le même 1er vecteur colonne.
Merci beaucoup!
Mais pourquoi G=(1,2,3)?

Posté par
jeansebre : Matrice d'une application linéaire 20-07-11 à 14:23

Bonjour

G = Vect (1;2;3) parce que le sysème d'equation de G est: x = y/2 = z/3

dans (1;2;3), x = 1  y = 2  z = 3  donc x = y/2  et x = z/3

Non?


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