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Matrice d'une projection orthogonale
Bonjour a tous, j'aimerai avoir un peu d'aide sur cette exercice.
on suppose U=
4 muni de sa structure euclidienne usuelle (et sa base canonique C); Soit V=<e1-e2+e3, e1+e3+e4, e2-e3> et 
et ' les projections orthogonales sur V et V
respectivement.
A) Déterminer V
B) Calculer matC(')
C) En déduire matC()
Merci pour votre aide.
Bonjour.
Qu'est ce que tu ne comprends pas ? As tu essayé la question 1 ?
Un vecteur u appartient à l'orthogonal de V si et seulement si il est orthogonal à tous les vecteurs de la base de V. A partir de là c'est juste du calcul.
En fait j'ai cherché dans mes TD des éléments de réponses et essayé de comprendre comment il fallait faire mais nos cours et TD sont un peu incompréhensibles..
Pour la question 1 je pensais a: V=<e2+e3-e4> mais je ne suis pas du tout sure
Merci de votre aide.
"Tu pensais à" ça veut dire tu as fait un peu au pif ? Mais effectivement après calcul c'est bien ça. Comment tu as fait ?
Ah non je n'ai pas fait au pif 
Je n'étais pas sur que ce soit la méthode a employer.
J'ai fait un système d'équation avec les vecteur de V
x-y+z=0
x+z+t=0
y-z=0
Ce qui me donne: x=0; y=z; t=-y
Voila comment il faut procéder:
Tout d'abord j'ai dit tout à l'heure qu'un vecteur u appartient à l'orthogonal de V si et seulement si il est orthogonal à tous les vecteurs d'une base de V. Ca parait évident et clair mais montrons le quand même.
Soit un espace vectoriel euclidien de dimension n muni du produit scalaire
. Soit
un sous espace vectoriel de
de dimension
(ici on prend
pour fixer les idées mais ça marche pour n'importe qu'elle entier) On note
l'orthogonal de
pour ce produit scalaire et
une base de
.
Soit .
Si alors par définition
est orthogonal à tout vecteur de
donc en particulier
est orthogonal à
et
.
Réciproquement, on suppose orthogonal à
et
. Comme
est une base de E alors tout vecteur
de E s'écrit
avec
. D'où:
par bilinéarité du produit scalaire et le fait que
est orthogonal à
et
. Donc
Voila ceci étant fait une fois tu n'as pas besoin de tout le temps le réécrire (sauf si on te le demande explicitement) mais c'était juste pour te convaincre de ce que j'avais dit et ce que je vais faire maintenant (si des fois tu n'étais pas convaincu)
Maintenant on reprend l'exercice à proprement parlé. Je note l'orthogonal de
pour le produit scalaire usuel,
.
Soit
D'après ce qu'on a dit plus haut
Donc une base de est
Voila pour la question 1. On peut pas faire plus détaillé je pense.
ok ok maintenant passons à la question 2. Tu as une idée ? Il faut penser à la formule de changement de base et aussi savoir la définition de la projection.
Merci beaucoup j'ai tout compris pour la question 1
Par contre la 2 je cherche depuis tout a l'heure mais je vois pas..
pour la projection la formule c'est: p(x)=(e1,x)e1+...+(e4,x)e4 non ?
Et dans l'orthogonal p(f)=0 ?!
?? nan je ne comprend pas ta formule. Disons que la formule qui se rapprocherait le plus de ce qu tu écris est:
Soit la projection sur
on a:
si
est une base orthonormé pour
.
Mais ici à priori il ne faut pas faire ça.
En fait, comme le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique non dégénéré alors on a. Donc, tout vecteur
de
s'écrit
avec
et
. En fait, par définition,
et
. Une base de
est la concaténation d'une base de
et d'une base de
car
. Donc une base de
est:
avec
(
provient de la base de
et
de la base de
Il est facile de calculer la matrice de dans cette base
. Ensuite tu appliques la formule de changement de base pour avoir la matrice dans la base
.
pardon j'ai fait une erreur dans ma formule:
Soit la projection sur
et
une base orthonormé de
alors on a:
Sinon si tu dis que tes cours et td ne sont pas terribles je ne connais pas ton cursus mais tu peux toujours jeter un coup d'oeil sur ce cours: http://www.math.jussieu.fr/~polo/L2/
Notamment le chapitre 5 pour ce qui concerne cette exercice.
Pour la formule c'est ca que je voulais ecire mais je savais pas comment metre la barre entre le x et le ei lol.
Je vais aller jeter un coup d'œil merci
Il n'y a pas à être désolé de ne pas comprendre quelque chose. Ici tu appliques simplement la définition. Prenons par exemple le premier vecteur de la base : le vecteur
. On sait que
donc
par définition (si tu veux:
avec
et
. C'est la même chose que ce que j'ai écrit tout à l'heure de manière générale avec
et
. Donc tu dois séparer selon les composantes sur
et sur
. Tu vois donc pourquoi il est plus simple de faire le travail sur la base
car on a déjà "séparé" les composantes quand on a formé la base. Si tu veux directement travaillé sur la base canonique
alors comment exprimer
(par exemple) en fonction de
c'est-à-dire trouver
et
tel que
ce n'est à priori pas évident.
Tu comprends ?
ce qu'il te manque dans ta formule c'est surtout que dois être une BON ! Ce n'est pas là pour décorer
la base canonique C est bien une b.o.n?
Donc si j'applique la formule avec u=(e1-e2+e3) j'obtiens: (u)=(1,-1,1,0) ?!
regarde le chapitre paragraphe 2. En fait, ce que je veux dire c'est que tout vecteur de
s'écrit comme la somme d'un élément de
et d'un élément de
(on va dire que ce sont les deux composantes de
). Et l'élément de
c'est
et l'élément de
c'est
. C'est la définition. A partir de là si je te donne un vecteur
quelconque de
tu vois que pour calculer sa projection sur
c'est-à-dire pour calculer
il faut trouver la composante sur
de
. C'est ça qui n'est pas évident à priori. Par exemple, si je te donne le vecteur
tu sais me donner sa décomposition sur
? Mais ici tu passes d'abord par la matrice
qui a été conçu pour faciliter le travail si l'on veut. Car les vecteurs de
sont déjà décomposé (puisque en fait soit ils appartiennent à
soit à
donc c'est clair). Puis pour revenir de manière générale (i.e dans
) tu appliques la formule de changement de base.
est une BON mais dans la formule il est bien dit que: si
projection sur
est une BON pour
or ici
n'est pas une base pour
. Il faut bien faire attention aux hypothèses du théorème.
de toute façon avec la formule de changement de base que tu travailles dans ou
ça revient au même au final. Donc autant travailler avec
car c'est plus simple.
ok donc avec B je fais quoi apres?? j'aplique la formule (x/u)u+(x/v)v+(x/w)w+(x/n)n et je prend w=(x y z t) ??
J'ai trop du mal desolé :s
hum... tu cherches à calculer autrement dit tu cherches à exprimer
en fonction de
, puis
etc...
A priori, ce que tu pourrais faire ici (si tu souhaites tant appliqué la fameuse formule) c'est de trouver une base orthonormé pour (c'est facile tu prend
et tu le divises par sa norme tu obtiens
puis maintenant tu appliques la formule: par exemple pour
on a:
ce qui donne 0 car
et
sont orthogonaux et on retrouve bien ce que j'avais dit. Voila.
Je pense quand même qu'il faut que tu comprennes sans forcement passer par la formule mais par rapport à ce que je disais tout à l'heure puisque c'est un pue la définition... au pire fais un dessin pour comprendre. Encore une fois regarde le chapitre 5 paragraphe 2. Tout ce que je t'explique vient de là puisque c'est mon poly de cours.
Voila voila.
oui le poly que vous m'avez donné est beaucoup mieux que mon cours. et surtout plus clair..
J'ai trouvé '(u)='(v)='(w)=0
et '(n)= (0 1 1 -1) ??
Oui c'est ça. En fait, . C'est logique, (et j'insiste là dessus car c'est important de bien comprendre sans passer par la formule) car
,
,
donc leur projection sur
est nul,
donc sa projection sur
c'est lui même.
Si tu veux: considére le repére du plan orthonormé habituelle avec l'axe (Ox) des abscisses et l'axe (Oy) des ordonnées. Si tu as le point A de coordonnées (1,5) alors sa projection sur (Ox) c'est le point de coordonnée (1,0) sa projection sur (Oy) c'est (0,5). Si maintenant j'ai le point B(0,-4) alors B appartient à l'axe (Oy) donc sa projection sur l'axe (Oy) c'est lui même et sa projection sur (Ox) c'est (0,0).
Ah oui d'accord je vois. En effet c'est logique quand on comprend.
Du coup matB(')= 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 1 -1
Maintenant il faut que je trouve la formule pour la metre dans la base canonique C?
hum... nan ta matrice n'est pas ça tu as inversé les lignes et les colonnes et pour n c'est pas bon du tout !
Par définition:
tu comprends ? c'est très important ça. La matrice d'une application linéaire dans la base
de E c'est exprimés les vecteurs
en fonction des vecteurs
. Tu exprimes en colonnes. Ici,
donc ses coordonnées dans la base
c'est
(en revanche dans la base
ses coordonnées sont
).
Ensuite, pour passer à la base il suffit d'appliquer la formule de changement de base. Je suppose que tu connais sinon je t'invite à lire dans le poly (doit bien y avoir ça dans le chapitre 1 quelque part) ou alors tu cherche dans un cours d'algèbre de L1 par exemple là: http://www.edu.upmc.fr/maths/math1/lm125/public/MATHLM125-2011.pdf
(c'est un très bon poly d'algèbre de L1 avec pleins d'exemples très détaillés, tu regardes le chap 5 et c'est la qud tu trouveras le lien entre matrice et application linéaire et donc la formule de changement de base)
ah oui je me suis trompée de base en plus je l'avais ecris que c'etais dans B.
Est ce que la formule de changement de base est celle ci:
B=tPAP
avec B=matC(')
P=matrice de passage de B a C
et A= matB(')
La formule de changement de base c'est: avec
matrice de passage de la base
à la base
. (donc
).
P est facile à calculer (si tu connais ta définition) puis après je suppose que tu sais calculer l'inverse d'une matrice.
Je ne vois pas ce que viens faire ta transposé dans ta formule (je pense, peut être, que tu t'es trompé tu voulais écrire -1 si oui alors ta formule et bonne et le calcul bah je pense que si tu as utiliser la bonne formule c'est bon.)
Une derniere petite chose, je sais bien qu'on est un pue à cours de lettre mais il vaut mieux éviter d'appeler ta matrice sachant que la base s'appelle déjà
...
D'accord merci beaucoup. je sais faire les calcul de matrice donc ca devrais aller
Merci pour votre aide
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