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matrice de projecteur + base orthogonale
bonjour je suis en pcsi, je n'ai pas réussi a faire l'exercice 2 et mon prof ne la pas corrigée pouvez vous m'aidez jusqu'à la question 6 s'il vous plait. je vous remercie d'avance.
on cosidère le R-espace vectoriel E=
3, muni de sa structure euclidienne usuelle. on note C=(
,
,
) la base canonique de E. on note Id l'identité de E.
1. soit n=(1;1;-1)et D la droite vectorielle engendrée par n. déterminer une equation de H. supplémentaire orthogonal de D dans E.
2. déterminer une base (a;b) de H. on choisira a
vect{j;k}
b. en déduire une base orthogonale à B=(a,b,c) de E.
c. soit Q la matrice de passage de la base C a la base B . la matrice Q est elle inversible? calculer son inverse.
3. déterminer la matrice M1, relativement à la base C, du projecteur orthogonal P1 sur D.
4. déterminez la matrice M2, relativement a la base C, du projecteur orthogonal P2 sur H.
5. soit 
=(3,2,1) determiner son projeté orthogonal sur H
6. calculer M1 fois M2. Ce resultat etait-il prévisible?
1/ On est en dimension 3, donc H qui est l'orthogonal de n est un plan. si tu as un vecteur (a,b,c), le plan orthogonal à ce vecteur et passant par O a pour equation ax+by+cz=0.
2/ on a z=x+y donc une base est (e1=(1,0,1),a=(0,1,1))
une base orthogonale est (a,n,axn), x represente le produit vectoriel.
une matrice de passage (d'une base à une autre) est toujours inversible puisqu'elle représente une bijection !!!
posons a=(0,1,1) et b=(1,0,1) alors (a,b,n) est une base et a et b sont orthogonaux à n par construction ... mais a et b ne le sont pas
prend alors u = b - a/2 donc (a,u) = .....
conclusion (a,u,n) est orthogonale .....
merci j'ai trouver la matrice de passage : 1ere colonne (0 1 1) (1 -1/2 1/2) (1 1 -1). pouvez vous me donner la méthode pour la question 3 s'il vous plait
bonjour j'ai un gros problème j'ai tenu un raisonnement qui est le suivant pop=p si c'est un projecteur. soit M1
a egal 0, M1u=0 et M1n=n avec des compasante inconnue pour cette matrice carré d'ordre 3! j'ai trouver une matrice qui vérifie c'est trois conditions par le calcule mais je ne vois pas pourquoi tu dis que c'est si évident???? c'est quoi la matrice détaille un peu plus s'il te plait
Attend je ne trouve pas ce que tu trouves c'est très bizzard détaille moi ce que tu dis stp x normalement egal -1/norme de (n) c'est a dire racine de 3?
les images de a et u sont nulles puisqu'ils sont orthogonaux à n et l'image de n est n
en fait à la place de x tu mets 1 tout simplement ....
merci j'ai deux autre question apres bon ça sera fini j'ai compris globalement l'exercice ! j'ai oublier de te préciser que a u n est une base orthnormale. la matrice M2 je trouve en colonne (0;2;0),(1;-1;0) et (1;1;0)
c'est juste? comment on détermine la matrice M3 de la reflexion s par rapport à H? merxi de tes réponses fructeuses
attention la base n'est pas orthonormale car par exemple n n'est pas unitaire ...
par P2 l'image de a est a et l'image de u est u et l'image de n est 0 ....
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