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Niveau Licence-pas de math
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Matrice de réflexion par rapport à un plan

Posté par
pegoud
09-10-21 à 18:59

Bonjour,

Je suis en train de résoudre un exercice portant sur les matrices de réflexion et j'aurais besoin de quelques explications.

NB : Nous n'avons pas encore abordé le sujet en cours : cet exercice doit servir d'introduction à ce type de matrices... je me suis donc uniquement basé sur Internet, et ce qui suit correspond à ce que je crois en avoir compris.


Énoncé :

Soit E = R3.
Trouver la matrice de la réflexion par rapport au plan d'equation 2 x1 + x2 − 2 x3 =  0


Là où j'en suis :

J'ai commencé par trouver un vecteur normal à ce plan :
e1 = (2, 1, -2)

J'ai ensuite trouvé deux vecteurs orthogonaux à e1 et orthogonaux entre eux (par produit scalaire, puis vectoriel) :
e2 = (1, 0, 1)
e3 = (1, -4, -1)

Je cherche donc une matrice U telle que :
Ue1 = - e1       (car e1 est normal au plan)
Ue2 = e2
Ue3 = e3

D'où  :

         -1 0 0
U =  0 1 0
           0 0 1


Mes questions :


- Si les résultats sont corrects, U est-elle la matrice de réflexion attendue ?

- Les matrices de réflexion sont-elles toujours diagonales ?

- Que se passe-t-il si l'équation du plan est de la forme ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 (avec d non nul) ? La matrice de réflexion change-t-elle ?


Merci d'avance pour vos réponses et les explications que vous pourrez m'apporter !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrice de réflexion par rapport à un plan 09-10-21 à 19:19

Bonsoir,
Je ne suis pas très pointue dans ce domaine.
Mais je peux donner quelques réponses :
Il me semble que ce qui est attendu, c'est une matrice dans la base canonique.
Tu as écrit la matrice dans la base (e1, e2, e3)

Les matrices de réflexion ne sont pas toujours diagonales.

Quand on travaille dans l'espace vectoriel 3, les plans sont des plans vectoriel, pas affine.
Sinon, on n'est plus en présence d'applications linéaires.

Posté par
carpediem
re : Matrice de réflexion par rapport à un plan 09-10-21 à 19:22

salut

oui


attention ce que tu donnes c'est la matrice U de la réflexion dasn la base (e_1, e_2, e_3)

mais dans la base canonique (i, j, k) dans laquelle sont écrit les vecteurs e_i ta matrice serait quelconque

non ... mais le fait d'avoir d = 0 fait que ton plan affine est aussi vectoriel et alors tu peux remarquer que e_2 et e_3 appartiennent à ce plan vectoriel ... sans avoir à passer par un produit scalaire et un produit vectoriel

avec d <> 0 ça ne marcherait pas ...

Posté par
pegoud
re : Matrice de réflexion par rapport à un plan 09-10-21 à 20:06

Merci pour vos réponses très complètes, vous m'avez permis de comprendre le problème !
Je vais essayer de creuser le sujet avec vos indications.

Bonne soirée, merci encore

Posté par
carpediem
re : Matrice de réflexion par rapport à un plan 09-10-21 à 20:13

de rien et à toi aussi



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