Niveau Licence-pas de math

Matrice de rotation autour d'un vecteur

Posté par
pegoud 24-10-21 à 14:40

Bonjour,

Je refaisais des exercices de Travaux Dirigés pour réviser une dernière fois avant mon partiel d'algèbre linéaire (ayant lieu très prochainement)... Et j'aurais des questions portant sur les matrices de rotation autour d'un vecteur.

Dans l'un des exercices réalisés en TD, on me demande de trouver la rotation d'angle 2π/3 autour du vecteur (1,1,1).

Là où j'en suis :

Je commence par poser
e₁ = (1,1,1)
e₂ = (1,-1,0)     (par nullité du produit scalaire <e₁,e₂>)
e₃ = (1,1,-2)     (produit vectoriel e₁^e₂)

Le corrigé de l'exercice est un peu flou pour moi :
On me dit de poser une matrice :

a -b  0
b   a  c
c   0  -b

(sans préciser à quoi correspondent a, b et c)
Savez-vous à quoi cette matrice correspond ?

Mes questions :

Que faire ensuite, après avoir déterminé les vecteurs e₁, e₂ et e₃ ? Les normaliser ?
Comment trouver la matrice de réflexion à partir de ces vecteurs ?

Je vous remercie d'avance pour les explications que vous pourrez m'apporter.

Posté par re : Matrice de rotation autour d'un vecteur 24-10-21 à 14:44

Erratum : Comment trouver la matrice de rotation à partir de ces vecteurs ?

Posté par re : Matrice de rotation autour d'un vecteur 24-10-21 à 15:27

salut

une rotation autour d'un vecteur ça ne veut rien dire ...

un vecteur n'est pas un objet géométrique (comme une droite) ...

en posant u = (1, 1, 1) et v et w tes deux autres vecteurs

alors dans le plan (v, w) orthogonal à u on a simplement une rotation du plan

il suffit d'appliquer les formules de rotation dans un plan pour avoir a, b et c ...

la matrice que tu donnes est évidemment la matrice de ta rotation dans la base canonique (i, j, k)

...

Posté par re : Matrice de rotation autour d'un vecteur 24-10-21 à 15:58

Merci pour toutes ces précisions !

Notre enseignant nous avait prévenus que certaines erreurs de langage pouvaient se glisser dans ses cours et énoncés... J'imagine que la "rotation autour d'un vecteur" en fait partie.

Après avoir normalisé les vecteurs je trouve la matrice de passage de la base canonique à notre nouvelle base (u,v,w) :
P = 6^-1/2   (2^1/2      3^1/2      1
                        2^1/2     -3^1/2      1
                        2^1/2          0        -2)

En remplaçant le θ par 2π/3, la matrice de rotation du plan (v,w) dans la nouvelle base serait :

U' = 1                 0                    0
          0           -1/2          - 3^1/2/2
          0        3^1/2/2            -1/2

Enfin, je calcule U = P U' P^-1   (P est orthogonale par définition, car c'est la matrice de passage de la base canonique à une base orthonormale, donc on prend P^-1 = P^t)

Je vous passe les calculs, je me retrouve avec :

U = (0 0 1
          1 0 0
          0 1 0)

Cette matrice serait donc celle de la rotation demandée dans la base canonique.

La démarche vous paraît-elle correcte ?

Autre question pratique : si l'angle demandé avait été négatif, aurais-je dû choisir un vecteur w tel que w = v^u (au lieu de w = u^v, pour obtenir une base orthonormée d'orientation négative au lieu de positive) ?

Merci d'avance

Posté par re : Matrice de rotation autour d'un vecteur 24-10-21 à 17:05

Bonjour,

Pas trop d'accord avec carpediem, Une rotation vectorielle autour d'un vecteur (non nul), ça a bien un sens. Ce vecteur dirige et oriente la droite vectorielle axe de la rotation.

Pour trouver la matrice de rotation voulue, le chemin le plus court me semble être de trouver les images par la rotation des vecteurs $e_1,e_2,e_3$ de la base canonique.
Ne pas oublier que la rotation est d'ordre 3. Un peu de vision géométrique permet de trouver sans peine ces images.
Et si on ne voit pas, on peut toujours calculer en utilisant que si $r$ est la rotation d'angle $\theta$ autour du vecteur $u$ , alors
$\large r(v)= p_u(v) + \cos(\theta) (v-p_u(v)) + \dfrac{\sin(\theta)}{ \Vert u\Vert}\, (u\wedge v)$
où $p_u$ est la projection orthogonale sur la droite vectorielle dirigée par $u.$

Posté par Matrice de rotation autour d'un vecteur 24-10-21 à 17:56

bonjour,
Je ne reviens pas sur la méthode de GBZM qui est la formulation théorique

j'interviens pour une remarque évoquée par lui même (un peu de vision géométrique...), l'espace vectoriel euclidien R3 correspond à l'espace affine euclidien E3 pointé  par un point O.
Il suffit de penser à  un cube d'arête 1  (OABCDEFH) ,e1=OA, e2=OC, e3=OD et de considérer la diagonale OF fixe par la rotation, de même que le point G  centre de gravité du triangle (ACD), Il n'est pas utile d'expliquer que la rotation affine d'angle $2\pi/3$ transforme A en C,  C en D  et D en A, d'où en repassant en vectoriel, ta matrice U