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matrice de rotation plane autour d'un point

Posté par
prdox
21-12-19 à 18:09

Bonjour,

En se plaçant dans le plan euclidien,
Je recherche la matrice de rotation plane autour d'un point autre que l'origine
je m'explique

la rotation d'un angle \theta autour de l'origine s'exprime de la forme suivante

R_\theta = \begin{pmatrix}
 \\ cos(\theta) & - sin(\theta) \\ 
 \\  sin(\theta) & cos(\theta)
 \\ \end{pmatrix}

de telle sorte que si M = \begin{pmatrix}
 \\ x\\ 
 \\ y
 \\ \end{pmatrix}

l'image de M par la rotation est M' = R_\theta . M = \begin{pmatrix}
 \\ cos(\theta)*x - sin(\theta)*y \\ 
 \\ sin(\theta)*x+cos(\theta)*y
 \\ \end{pmatrix}

ce que j'aimerais c'est trouvé la forme de la matrice de rotation autour d'un centre
C= \begin{pmatrix}
 \\ x_c \\ 
 \\ y_c
 \\ \end{pmatrix}

quelconque,

soit la matrice R(x_c,y_c,\theta)

de telle sorte que l'on ai M'=R(x_c,y_c,\theta).M
 \\

est ce que c'est possible ? Si oui pouvez vous m'indiquer une piste.

Merci d'avance !

Posté par
ty59847
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 18:18

Connais-tu la différence entre 'affine' et 'linéaire' (je ne suis pas sûr d'employer les bons termes, mais l'idée est là).
Une matrice, ça sert à traiter des vecteurs, pas des points.

Quand on multiplie une matrice par le vecteur nul, on obtient forcément le vecteur nul. Donc les transformations qu'on sait écrire sous forme de matrice vérifient forcément f(0)=0. Point final. Pas de solution pour une rotation autour d'un point autre que 0.

Ici, tu as besoin d'une rotation autour du point Origine (donc une matrice effectivement), combinée avec une translation.

Posté par
larrech
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 18:19

Bonjour,

Il suffit de faire une translation des axes, en prenant C comme origine. Les nouvelles cordonnées seront

X=x-x_c
 \\ Y=y-y_c

et l'on retrouvera la relation matricielle que tu indiques.

Posté par
prdox
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 18:31

ok merci pour ces 2 messages éclairant je crois que je comprends le problême (un peu) je n'aurais pas de forme matricielle équivalente à la combinaison d'une translation et d'une rotation mais je vais continuer de chercher car en réalité mon but est de montrer que une combinaison de plusieurs rotations autour de centres différents est une bijection si je comprends bien ca revient a montrer que une combinaison de rotation autour de l'origine et de translation forme une bijection ca semble évident mais l'écrire proprement  demande un peu d'éfforts.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 18:46

Bonsoir,
La composée de 2 bijections est toujours une bijection, quel que soit le contexte.

Posté par
ty59847
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 18:49

Effectivement, la vraie question est beaucoup plus simple que ce que tu as envisagé. Sylvieg a donné la réponse.

Posté par
prdox
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 19:08

Sylvieg @ 21-12-2019 à 18:46

Bonsoir,
La composée de 2 bijections est toujours une bijection, quel que soit le contexte.


C'est bien ce a quoi je pensait mais il y avait une petite voix que me disait c'est trop simple il doit y avoir une subtilité que je n'ai pas vue mais non vous avez rassuré mes doutes et par la même solutionné mon problême.

Merci a vous le sujet peut être fermé !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 19:25

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
ThierryPoma
re : matrice de rotation plane autour d'un point 21-12-19 à 19:51

Bonsoir,

Soit \Omega(x_{\Omega},\,y_{\Omega}) le centre de ta rotation. Pour tout point M du plan affine, l'on a

\overrightarrow{\Omega\rho_{\theta}(M)}=R_{\theta}\,\overrightarrow{\Omega{M}}



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