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matrice définie semi-positive
Bonsoir,
pourquoi si on a une matrice vérifiant
pour tout
,
est diagonalisable?
Merci pour vos réponses. 
Bonsoir.
M étant symétrique réelle elle est forcément diagonalisable.
La positivité signifie que ses valeurs propres sont > 0.
Si la symétrie n'est pas dans les hypothèses, prenons :
Alors, tX.A.X = x² + xy + y² : positif sur R
Mais A n'est pas diagonalisable.
Bonsoir Raymond et merci pour cette réponse rapide,
mais je n'arrive pas à voir pourquoi une matrice symétrique réelle est diagonalisable. 
Salut romu
Considère la forme quadratique q associée à notre matrice M symétrique réelle.
qu est continue sur la sphère unité de Rn compacte donc atteint sa borne supérieure en un vecteur x.
Montrer que cette borne supérieure est une valeur propre de M.
On applique le même raisonnement à l'orthogonal de x stable par M etc... On obtient une base de vecteurs propres.
M est donc diagonalisable.
Je reprends cet exo, je ne vois pas comment montrer que cette borne supérieure est une valeur propre. 
Je récapitule:
On note la base canonique de
.
Soit symétrique (ie
pour tous
).
La forme bilinéaire symétrique associée est celle caractérisée par les relations:
.
On note la forme quadratique associée à
(
).
Soit . On a
.
est continue sur
car bilinéaire (définie sur un espace de dimension finie), donc
est aussi continue.
Sur la sphère unité compacte, atteint donc sa borne sup en un point
.
Là il faut donc que je montre qu'il existe tel que
.
J'avais pensé à mais je ne vois pas comment montrer cette égalité.
Bonjour romu
Dans mon souvenir, il y a deux démonstrations:
- la démo paresseuse consiste à démontrer le théorème sur C à partir des matrices hermitiennes. L'intérêt est que C etant clos, l'endomorphisme a forcément une valeur propre. Le reste n'est pas très compliqué me semble-t-il. Ensuite, les matrices symétriques réelles en sont des cas particuliers.
- la démo directe, qui est beaucoup plus trappue. Elle se fait me semble-t-il par récurrence, en prouvant que toute matrice symétrique réelle a au moins une valeur propre réelle.
Je ne sais pas si ça t'avance beaucoup...
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