Bonjour,

Voici une idée:
Puisque l'ordre pour les parties n'intervient pas, le plus naturel est de pendre les parties de la façon suivante :

C'est la façon ordonnée de dresser l'ensemble des parties si on devait le faire à la main en gros, par exemple avec n=4 cela donnerait :
{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.

Via cette construction, tu peux remarquer que :
¤
¤

Ainsi par opération sur les colonnes par exemple, cela revient à calculer le déterminant de la matrice :
.

Après, je pense que tu peux finir.

Pour ceux que ça intéresse, j'ai une solution pour montrer de façon assez simple que le déterminant de la matrice est égal à -1 quelque soit n2. On fait cela par récurrence :

Pour n=2, on obtient facilement -1.

Supposons la propriété vraie à un certain rang p. On partitionne les parties de l'ensemble {1,2,...,p+1} de la manière suivante :

Les parties de {1,...,p}; les parties de {1,...,p} auquel on ajoute toujours l'élement {p+1} et enfin {p+1}.

La matrice A_p+1 devient alors:

Ap       Ap          0
Ap   (bloc de 1)   1
0         1            1

On montre, en retranchant la dernière ligne aux 2^p lignes précédentes, puis en développant le déterminant par rapport à la dernière ligne, que le déterminant de A_p+1 est égal à celui de la matrice par bloc :

Ap   Ap
Ap   0

On conclut alors facilement que le déterminant est égal à -1.