Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Matrice diagonalisable et valeurs propres
Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre la correction d'un exercice.
Le but est de montrer que B n'est pas diagonalisable.
En bref :
Le polynome caractéristique associé à B est (1-x)(2-x)(2-x).
Donc deux valeurs propres 1 et 2. (2 étant "double")
Ensuite il est calculé que Ker(B-2I) = Vect(2,1,0)
Et enfin dim(Ker(B-2I)) = 1 => B n'est pas diagonalisable.
Pourquoi cette dernière implication est-elle vraie ?
Par avance, merci.
Bonjour,
tout simplement parce que la somme des dimensions des espaces propres est 1+1=2 et pas 3.
Une matrice est diagonalisable si et seulement si l'espace ambiant E est somme directe des espaces propres, ce qui implique entre autres dim(E)= somme des dimensions des espaces propres.
Si tu as vu les espaces caractéristiques, tu peux aussi dire que l'espace caractéristique asssocié à la valeur propre 2 est de dimension 2, donc strictement supérieure à la dimension de l'espace propre associé.
En espérant que ce soit clair
Tigweg
Ah pardon je croyais qu'on savait que l'espace propre associé à la valeur propre 1 était de dimension 1.
Sans cette hypothèse, le seul argument que je vois est celui de l'espace caractéristique.
Bonjour, Tigweg et cedrigoler.
Loesque la valeur propre est d'ordre de multiplicité 1, on sait que le sous-espace propre associé est de dimension 1.
Donc, on sait que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
Bonjour Tigweg et perroquet,
Merci pour vos réponses c'est très clair avec les sous-espace propres.
J'en ai profité pour voir ce qu'est le sous espace caractéristique sur wikipedia mais quelque chose me surprend à cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_diagonalisable au paragraphe " Méthodes pratiques de diagonalisation" il est dit que "La matrice ne sera diagonalisable que si la dimension de chaque sous-espace caractéristique ..." Or
est défini comme étant un sous-espace propre, non ?
Il y a une erreur dans l'article de Wikipedia:
à la place de "sous-espace caractéristique", il faut lire "sous-espace propre"
Bonsoir perroquet,
en effet, mais dans ma tête ce résultat se démontrait aussi en passant par les espaces caractéristiques, alors qu'il y a peut-être une démonstration plus simple.
Oui, il y a une démonstration plus simple.
Si t est une valeur propre de f, le sous-espace propre de f associé à t est au moins de dimension 1.
Par ailleurs, si B est une base du sous-espace propre de f associé à t, on complète B en une base de E, et on calcule det(f-XI) à l'aide de la matrice de f dans cette base. On voit donc que le polynôme caractéristique de f est multiple de , ce qui montre que la dimension du sous-espace propre de f associé à t est inférieure à l'ordre de multiplicité de t.
Donc, si t est une valeur propre de f d'ordre de multiplicité 1, on a:
Le sous-espace propre de f associé à t est donc de dimension 1.
Annuler
connectez vous
algèbre en Bts