Bonjour.

En regardant la matrice, il arrive effectivement que certaines valeurs propres soient apparentes.

Appelons B = (u,v,w) la base canonique et posons A = Mat(f,B).

Les colonnes de la matrices montrent que :

f(u) = 6w
f(v) = u - 11w
f(w) = v + 6w

Alors : f(u) + f(v) + f(w) = f(u + v + w) = u + v + w.

Ceci signifie que 1 est valeur propre et que u + v + w est un vecteur propre associé.

Ensuite, on sait que si a,b,c sont les supposées valeurs propres on a toujours :

1°) tr(A) = a + b + c
2°) det(A) = a.b.c

Ici, sachant que a = 1, cela donne :

1°) b + c = 5
2°) b.c = 6

b et c sont solutions de X² - 5X + 6 = 0. Ce qui donne bien le résultat annoncé.

Bon, il est par ailleurs possible que l'énoncé signale que les valeurs propres sont simples à déterminer uniquement parce que le polynôme caractéristique et ses racines sont très simples à calculer dans le cas présent.

je n'connaissais pas cette méthode,
Appelons B = (u,v,w) la base canonique et posons A = Mat(f,B).

Ca marche a tous les coups? en gros le coefficient que l'on trouve en ajoutant f(u) f(v) et f(w) est une valeur propre c'est bien cela?


Merci pour cette réponse rapide raymond!

Non, cela ne marche pas à tous les coups. Ici, on a le cas où l'on "voit" que :

f(u) + f(v) + f(w) = u + v + w.

En posant X = u + v + w, cela signifie que f(X) = 1.X d'où la présence de la valeur propre 1.

Par contre, un cas qui marche bien : une colonne n°j proportionnelle au vecteur de base n°j.

Exemple :



En regardant la 2ème colonne, on voit que f(v) = 4.v. Donc, 4 est une valeur propre.