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matrice élevée à la puissance n
Bonjour à tous
je dois élever la matrice B=
1 2 3
0 1 2
0 0 1
à la puissance n
je forme le polynôme caractéristique j'obtiens (1-X)3 qui est scindé sur R, et 1 est valeur propre triple
ce que je pensais faire c'était de chercher un polynome P de degré raisonnable (2 voire 3) annulé par la matrice B, puis de chercher une base du reste de la division euclidienne par P puis d'écrire la division euclidienne appliquée à B
mais en cours on a pas encore vu le cas où il y a une seule valeur propre (ici elle est triple)
Pourriez-vous me donner un coup de main ?
Merci d'avance
Bonsoir referee92
en fait, ici, pour le coup, c'est plus simple avec une seule valeur propre.
Tu peux écrire que B=I+N où N est une matrice nipotente et appliquer le binôme de Newton (car I et N commutent).
Kaiser
ce que je pensais faire c'était de chercher un polynome P de degré raisonnable (2 voire 3) annulé par la matrice B,
au passage, le théorème de Cayley-Hamilton te donne gratuitement un tel polynôme : le polynôme caractéristique.
Kaiser
Bonjour.
Comme le signale kaiser (bonjour au passage), le théorème de Cayley-Hamilton te permet d'écrire que (B - I)3 = O.
Si tu ne connais pas ce résultat, tu peux toujours poser M = B - I.
Ensuite, calcule M² et M3. Tu verras que M3 = O
Enfin Bn = (I + M)n
Pour ce dernier calcul, comme I commute avec M, tu peux employer la formule du binôme de Newton.
Comme M3 = O, peu de termes subsistent.
A plus RR.
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