Bonjour

En fait tu cherches le noyau de f et si tu écris que A(a,b,c,d)=0, tu trouves des conditions comme précédemment.

c=0 -2b+6c=0 -2c=0

ce qui donne quand même des indications.

oui d'accord, mais je n'ai toujours pas de relation avec a, je peux quand meme exprimer en fonction de d et je touve donc:
x= (0,3d,0,d)
x= d(0,3,0,1)

Mais est-ce que je peux exprimer cette fois-ci en fonction de d alors que pour le calcul précédent je l'ai fait avec a?

La base de E s'écrit alors:

?

Ce que je comprend pas c'est que les vecteurs sont liés, ce n'est plus une base.

Attention! le système obtenu équivaut à b=c=d=0, donc a est d quelconque. Les éléments du noyau sont donc de la forme (a,0,0,0).

ce que tu as écrit, ne peut en aucun cas être une base de E avec des vecteurs égaux.

Que te demande-t-on précisément?

on me demande, dans le cas ou EL n'est pas réduit au polynome nul, de déterminer une base de EL puis après d'en déduire une base de E.

Une base de E telle que quoi?

Pour etre plus claire, le problème est:

On suppose que E désigne l'espace vectoriel R3[X] des polynomes de degré inférieur ou égale à 3.
f(P)(X) = (1+X²)P"(X)-2XP'(X)

1) Ecrire la matrice associée a f dans la base canonique (1,X,X²,X^3)

on pose EL= {x E, f(x) = Lx}

2) déterminer les réels L tels que le sous espace vectoriel EL ne soit pas réduit au polynome nul.
3) dans le cas ou EL n'est pas réduit au polynome nul, de déterminer une base de EL
4) en déduire une base de E.

mais peut etre que tu t'es trompé dans la résolution du systeme ? ta matrice répresente bien f , donc quand il fau trouver L qd f(x)=Lx cela revient bien a resoudre (A-LI)X=O donc a rechercher grace a la matrice A-LI  les valeurs propres,  donc apres tu resoud le systeme et tu doit normalement trouver des vecteurs mais en voulant t'aider je suis tomber sur un os, je ne trouve que deux vecteur , est -c e bon ou il en faut plus ?

Cet énoncé est stupide! On a de toute façon une base de E depuis le début.

Alors ce qui est sur, c'est que (1,0,-1,0) et (0,1,0,0) (que tu avais oublié) est une base de E_-2 et que (1,0,0,0) et (0,3,0,1) (que j'avais oublié moi) est une base de E₀. Si tu les mets ensemble tu as une base de E et la matrice sur cette nouvelle base est diagonale.

je ne comprends pas comment tu as trouvé que (0,1,0,0) est une base de E-2 et que (1,0,0,0) est une base de E0. le vecteur (1,0,0,0) provient de la base canonique?

non c bon je viens de comprendre je n'avais pas mis des conditions sur a et b selon que L=O ou -2;  
une derniere question apres ça il faut montrer qu'il existe une base de E dans laquelle g² s'ecrit
        0 0 0 0
        0 0 0 0
        0 0 -2 0
        0 0 0 -2
sachant que l'on veux résoudre l'equation u²=f dans laquelle u désigne un endomorphisme de E et g est une solution de cette equation
je sais qu'il faut calculer l'image par g2 de ces vecteurs en s'aidant de la base de E trouver precedemment ( j'ai reunis les 4 vecteurs, j'ai calculé le determinant il est different de 0 )  mmais je ne vois pas comment démarer merci encore de me repondre ou du moins de me donner une piste

bonsoir
les vecteursforment  une  base  B' de  E (si tu ne sais pas pourquoi il suffit que tu montres qu'ils sont linéairement indépendants puisqu'ils sont 4 dans un espace de dimension 4)
dans cette base B' la matrice de f est la matrice diagonale d(0,0,-2,-2)
g est une solution de u²=f=> (matg²)/_B'=(matf)/_B'=d(0,0,-2,-2)

merci de m'avoir repondu, pour le sous es^pace vectoriel E0, on a comme vecteur (0,3,0,1) et (1,0,0,0) et pour E-2 on a (-1,0,1,0)et (0,1,0,0)
maitenant on s'interesse a la restriction de g a E0 il faut montrer que l'on defini un endomorphisme de E0 noté g0, ( on a g solution de u²=f)  COMME noté au dessu, je crois  qu''il faut montrer que si P appartient a EO alors g0(P) appartient a EO mais je ne vois pas  où démarrer
( on a f(P) au  tout début de ce post et j'ai montrer avant que f et g commutent)
merci